정의 1

특정 세그먼트에 정의된 주어진 함수 $y=f(x)$의 모든 역도함수 집합을 주어진 함수 $y=f(x)$의 부정 적분이라고 합니다. 부정적분은 $\int f(x)dx $ 기호로 표시됩니다.

논평

정의 2는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

모든 무리함수가 기본 함수를 통해 적분으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다. 그러나 이러한 적분의 대부분은 유리 함수의 적분에 대한 대체를 사용하여 축소될 수 있으며, 이는 기본 함수의 관점에서 표현될 수 있습니다.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

나

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ 형식의 적분을 찾을 때 다음 대체를 수행해야 합니다.

이 대체를 사용하면 변수 $x$의 각 분수 거듭제곱은 변수 $t$의 정수 거듭제곱으로 표현됩니다. 결과적으로 피적분함수는 변수 $t$의 유리함수로 변환됩니다.

실시예 1

통합 수행:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

해결책:

$k=4$는 분수 $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $의 공통 분모입니다.

\ \[\begin(배열)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(배열)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac 형식의 적분을 찾을 때 (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ 다음 대체를 수행해야 합니다:

여기서 $k$는 분수 $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $의 공통 분모입니다.

이 대체의 결과로 피적분 함수는 변수 $t$의 유리 함수로 변환됩니다.

실시예 2

통합 수행:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

해결책:

다음과 같이 대체해 보겠습니다.

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

역대입을 한 후 최종 결과를 얻습니다.

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ 형식의 적분을 찾을 때 소위 오일러 치환이 수행됩니다(가능한 세 가지 치환 중 하나는 다음과 같습니다). 사용된).

오일러의 첫 번째 교체

$a>의 경우

$\sqrt(a) $ 앞에 "+" 기호를 사용하면 다음과 같이 됩니다.

실시예 3

통합 수행:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

해결책:

다음과 같이 대체해 보겠습니다($a=1>0$의 경우).

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

역대입을 한 후 최종 결과를 얻습니다.

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

오일러의 두 번째 대체

$c>0$의 경우 다음 대체를 수행해야 합니다.

$\sqrt(c) $ 앞에 "+" 기호를 사용하면 다음과 같습니다.

실시예 4

통합 수행:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

해결책:

다음과 같이 대체해 보겠습니다.

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ 반대를 만들었습니다. 대체하면 최종 결과를 얻습니다.

\[\begin(배열)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( 정렬)\]

오일러의 세 번째 교체

비합리적 함수의 종류는 매우 광범위하므로 이를 통합하는 보편적인 방법은 있을 수 없습니다. 이 기사에서 우리는 비합리 피적분 함수의 가장 특징적인 유형을 강조하고 적분 방법을 이들과 연관시키려고 노력할 것입니다.

미분부호를 구독하는 방법을 사용하는 것이 적절한 경우가 있습니다. 예를 들어, 다음 형식의 부정 적분을 찾을 때, 피– 유리 분수.

예.

부정 적분 찾기 .

해결책.

그것을 알아차리는 것은 어렵지 않습니다. 따라서 우리는 이를 미분 기호 아래에 놓고 역도함수 표를 사용합니다.

답변:

.

13. 분수 선형 치환

a, b, c, d가 실수이고, a, b,..., d, g가 자연수인 유형의 적분은 대체에 의해 유리 함수의 적분으로 감소됩니다. 여기서 K는 최소 공배수입니다. 분수의 분모

실제로, 대체에서 다음이 따릅니다.

즉, x와 dx는 t의 유리수 함수를 통해 표현됩니다. 더욱이, 분수의 각 차수는 t의 유리수 함수를 통해 표현됩니다.

예제 33.4. 적분 찾기

풀이: 분수 2/3과 1/2의 분모의 최소공배수는 6입니다.

따라서 x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt라고 가정합니다.

예제 33.5.적분 찾기에 대한 대체를 지정합니다.

풀이: I 1 치환의 경우 x=t 2, I 2 치환의 경우

14. 삼각법 치환

유형의 적분은 다음 삼각법 대체를 사용하여 합리적으로 삼각 함수에 의존하는 함수의 적분으로 축소됩니다. x = 첫 번째 적분에 대한 sint; 두 번째 적분의 경우 x=a tgt, 세 번째 적분의 경우

예제 33.6.적분 찾기

해결책: x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2라고 합시다. 그 다음에

여기서 피적분 함수는 x에 대한 유리수 함수이고 근호 아래에서 완전한 정사각형을 선택하고 대체함으로써 표시된 유형의 적분은 이미 고려된 유형의 적분, 즉 다음 유형의 적분으로 축소됩니다. 이러한 적분은 적절한 삼각법 치환을 사용하여 계산할 수 있습니다.

예제 33.7.적분 찾기

풀이: x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5이므로 x+1=t, x=t-1, dx=dt입니다. 그렇기 때문에 넣어보자

참고: 일체형 x=1/t 치환을 사용하여 구하는 것이 편리합니다.

15. 정적분

세그먼트에 함수를 정의하고 그에 대한 역도함수를 적용합니다. 불리는 차이점은 정적분 세그먼트를 따라 기능하고 나타냅니다. 그래서,

차이점은 양식에 적힌 다음 . 숫자가 불린다 통합의 한계 .

예를 들어, 함수에 대한 역도함수 중 하나입니다. 그렇기 때문에

16 . c가 상수이고 함수 f(x)가 에 적분 가능하면,

즉, 상수 인자 c는 정적분의 부호에서 제외될 수 있습니다.

▼f(x)를 사용하여 함수의 적분합을 구성해 보겠습니다. 우리는:

그러면 함수 c f(x)는 [a; b] 및 공식 (38.1)이 유효합니다.▲

2. 함수 f 1 (x) 및 f 2 (x)가 [a;b]에 통합 가능하면 [a; b] 그들의 합계 너

즉, 합의 적분은 적분의 합과 같습니다.

▼
▲

속성 2는 유한한 수의 항의 합에 적용됩니다.

3.

이 속성은 정의에 따라 허용될 수 있습니다. 이 속성은 Newton-Leibniz 공식으로도 확인됩니다.

4. 함수 f(x)가 [a; b] 그리고< с < b, то

즉, 전체 세그먼트에 대한 적분은 이 세그먼트의 일부에 대한 적분의 합과 같습니다. 이 속성을 정적분의 가산성(또는 가산성 속성)이라고 합니다.

세그먼트 [a;b]를 여러 부분으로 나눌 때 분할 지점 수에 점 c를 포함합니다(이는 세그먼트 [a;b]를 분할하는 방법과 적분 합의 한계가 독립되어 있기 때문에 가능합니다) 부분으로). c = x m이면 적분 합은 두 개의 합으로 나눌 수 있습니다.

기록된 각 합계는 세그먼트 [a; 비], [a; s] 및 [s; 비]. 마지막 등식의 극한인 n → (λ → 0)을 통과하면 등식(38.3)을 얻습니다.

속성 4는 점 a, b, c의 모든 위치에 유효합니다(함수 f(x)는 결과 세그먼트 중 더 큰 부분에 적분 가능하다고 가정합니다).

예를 들어, 만약< b < с, то

(속성 4와 3이 사용되었습니다).

5. "평균값에 대한 정리." 함수 f(x)가 구간 [a; b], 그러면 ψ [a; b] 그런 식으로

▼뉴턴-라이프니츠 공식에 따르면

여기서 F"(x) = θ(x). 차이 F(b)-F(a)에 라그랑주 정리(함수의 유한 증분에 대한 정리)를 적용하면 다음을 얻습니다.

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = θ(c) (b-a).▲

f(x) ≥ 0에 대한 속성 5("평균값 정리")는 단순한 기하학적 의미를 갖습니다. 일부 c ψ(a; b)에 대해 정적분의 값은 직사각형의 면적과 동일합니다. 높이 f (c) 및 밑면 b-a ( 그림 170 참조). 숫자

구간 [a; 비].

6. 함수 f(x)가 세그먼트 [a; b], 여기서< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼'평균값 정리'에 의해(속성 5)

여기서 c는 [a; 비]. 그리고 모든 x О [a; b], 그러면

θ(с)≥0, b-а>0.

따라서 f(с) (b-а) ≥ 0, 즉 ▲

7. 구간 [a; 비], (a

▼ § 2 (x)- § 1 (x)≥0이므로, a< b, согласно свойству 6, имеем

또는 속성 2에 따르면,

불평등을 구별하는 것은 불가능하다는 점에 유의하십시오.

8. 적분의 추정. m과 M이 각각 세그먼트 [a; 비], (a< b), то

▼ 임의의 x ψ [a;b]에 대해 m≤f(x)≤M이므로 속성 7에 따르면 다음과 같습니다.

극한 적분에 속성 5를 적용하면 다음을 얻습니다.

▲

f(x)≥0이면 속성 8은 기하학적으로 설명됩니다. 곡선 사다리꼴의 영역은 밑면이 이고 높이가 m과 M인 직사각형 영역 사이에 포함됩니다(그림 171 참조).

9. 정적분 계수는 적분 계수의 적분을 초과하지 않습니다.

▼명백한 부등식 -|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|에 속성 7을 적용하면 다음을 얻습니다.

그것은 다음과 같습니다

▲

10. 변수 상한에 대한 정적분의 도함수는 적분 변수가 이 극한으로 대체되는 피적분 함수와 같습니다. 즉

도형의 면적을 계산하는 것은 면적 이론에서 가장 어려운 문제 중 하나입니다. 학교 기하학 과정에서 우리는 원, 삼각형, 마름모 등과 같은 기본 기하학적 모양의 영역을 찾는 방법을 배웠습니다. 그러나 더 복잡한 수치의 면적을 계산해야 하는 경우가 훨씬 더 많습니다. 그러한 문제를 풀 때는 적분법을 이용해야 합니다.

이 기사에서는 곡선 사다리꼴의 면적을 계산하는 문제를 고려하고 기하학적 의미로 접근하겠습니다. 이를 통해 정적분과 곡선 사다리꼴 영역 사이의 직접적인 연결을 찾을 수 있습니다.

기능을 보자 와이 = 에프(엑스)세그먼트에서 연속 부호를 변경하지 않습니다(즉, 음수가 아니거나 양수가 아님). 수치 G, 선으로 경계 y = f(x), y = 0, x = a그리고 x = b, 라고 불리는 곡선 사다리꼴. 그 면적을 표시합시다 에스(지).

곡선 사다리꼴의 면적을 계산하는 문제에 대해 다음과 같이 접근해 보겠습니다. 정사각형 도형 섹션에서 우리는 구부러진 사다리꼴이 정사각형 도형이라는 것을 알았습니다. 세그먼트를 분할하면 ~에 N점으로 표시되는 부분 , 그리고 에 대해 점을 선택하면 하한 및 상한 다르부 합에 해당하는 수치가 포함된 것으로 간주될 수 있습니다. 피그리고 포괄적인 큐다각형 모양 G.

따라서 파티션 포인트 수가 증가하더라도 N, 우리는 불평등에 도달합니다. 여기서 는 임의로 작은 양수이고, 에스그리고 에스– 세그먼트의 주어진 분할에 대한 하한 및 상한 Darboux 합계 . 다른 게시물에서 . 따라서 명확한 Darboux 적분의 개념으로 전환하면 다음을 얻습니다. .

마지막 동등성은 연속적이고 음이 아닌 함수에 대한 정적분을 의미합니다. 와이 = 에프(엑스)기하학적 의미에서 해당 곡선 사다리꼴의 영역을 나타냅니다. 이것이 바로 정적분의 기하학적 의미.

즉, 정적분을 계산하면 선으로 둘러싸인 도형의 면적을 구하게 됩니다. y = f(x), y = 0, x = a그리고 x = b.

논평.

기능의 경우 와이 = 에프(엑스)세그먼트에 대해 긍정적이지 않음 , 곡선 사다리꼴의 면적은 다음과 같이 구할 수 있습니다. .

예.

선으로 둘러싸인 도형의 면적을 계산합니다. .

해결책.

평면 위에 도형을 만들어 봅시다: 직선 와이 = 0 x축, 직선과 일치합니다. x = -2그리고 엑스 = 3는 세로축에 평행하며, 함수 그래프의 기하학적 변환을 사용하여 곡선을 구성할 수 있습니다.

따라서 곡선 사다리꼴의 넓이를 구해야 합니다. 정적분의 기하학적 의미는 원하는 면적이 정적분으로 표현된다는 것을 나타냅니다. 따라서, . 이 정적분은 뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

비합리 함수(근)를 적분하는 기본 방법이 제공됩니다. 여기에는 선형 분수 비합리성의 적분, 미분 이항식, 제곱 삼항식의 제곱근과의 적분이 포함됩니다. 삼각함수 치환과 오일러 치환이 제공됩니다. 기본 함수를 통해 표현된 일부 타원 적분을 고려합니다.

미분 이항식의 적분

미분 이항식의 적분은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
,
여기서 m, n, p는 유리수이고, a, b는 실수입니다.
이러한 적분은 세 가지 경우에 유리 함수의 적분으로 축소됩니다.

1) p가 정수인 경우. 대체 x = t N, 여기서 N은 분수 m과 n의 공통 분모입니다.
2) If - 정수. 대체 a x n + b = t M, 여기서 M은 숫자 p의 분모입니다.
3) If - 정수. 대체 a + b x - n = t M, 여기서 M은 숫자 p의 분모입니다.

다른 경우에는 이러한 적분이 기본 함수를 통해 표현되지 않습니다.

때때로 이러한 적분은 다음과 같은 축소 공식을 사용하여 단순화될 수 있습니다.
;
.

제곱 삼항식의 제곱근을 포함하는 적분

이러한 적분은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
,
여기서 R은 유리함수입니다. 이러한 적분마다 이를 해결하는 여러 가지 방법이 있습니다.
1) 변환을 사용하면 적분이 더 간단해집니다.
2) 삼각법 또는 쌍곡선 치환을 적용합니다.
3) 오일러 대체를 적용합니다.

이러한 방법을 더 자세히 살펴보겠습니다.

1) 피적분 함수의 변환

공식을 적용하고 대수적 변환을 수행하여 피적분 함수를 다음 형식으로 줄입니다.
,
여기서 Φ(x), Ω(x)는 유리함수입니다.

유형 I

형태의 적분:
,
여기서 Pn(x)는 n차 다항식입니다.

이러한 적분은 다음 항등식을 사용하여 무한 계수 방법으로 구합니다.

.
이 방정식을 미분하고 왼쪽과 오른쪽을 동일시하면 계수 A i를 찾습니다.

유형 II

형태의 적분:
,
여기서 Pm(x)는 m차 다항식입니다.

대체 t = (x - α) -1이 적분은 이전 유형으로 축소됩니다. m ≥ n이면 분수는 정수 부분을 가져야 합니다.

III 유형

여기서는 대체를 수행합니다.
.
그 후 적분은 다음과 같은 형식을 취합니다.
.
다음으로, 분모의 t 계수가 0이 되도록 상수 α, β를 선택해야 합니다.
B = 0, B1 = 0.
그런 다음 적분은 두 가지 유형의 적분의 합으로 분해됩니다.
,
,
이는 대체에 의해 통합됩니다.
유 2 = A 1 티 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 티 -2 .

2) 삼각법 및 쌍곡선 치환

형태의 적분에 대해, a > 0 ,
세 가지 주요 대체품이 있습니다.
;
;
;

적분의 경우, > 0 ,
다음과 같은 대체 항목이 있습니다.
;
;
;

그리고 마지막으로 적분의 경우, > 0 ,
대체 사항은 다음과 같습니다.
;
;
;

3) 오일러 치환

또한 적분은 세 가지 오일러 치환 중 하나의 유리 함수 적분으로 축소될 수 있습니다.
, > 0인 경우;
, c > 0인 경우;
, 여기서 x 1은 방정식 a x 2 + b x + c = 0의 근입니다. 이 방정식에 실제 뿌리가 있는 경우.

타원 적분

결론적으로 다음 형식의 적분을 고려하십시오.
,
여기서 R은 유리함수, 입니다. 이러한 적분을 타원이라고 합니다. 일반적으로 기본 기능으로는 표현되지 않습니다. 그러나 계수 A, B, C, D, E 사이에 관계가 있는 경우가 있는데, 이러한 적분은 기본 함수를 통해 표현됩니다.

아래는 재귀 다항식과 관련된 예입니다. 이러한 적분의 계산은 대체를 사용하여 수행됩니다.
.

예

적분을 계산합니다.
.

대체를 해보자.

.
여기 x > 0 (유 > 0 ) 위쪽 기호 '+'를 사용합니다. x에< 0 (유< 0 ) - 낮추다 '- '.

.

참고자료:
N.M. 건터, R.O. Kuzmin, 고등 수학 문제 모음, “Lan”, 2003.

형태의 적분(m 1, n 1, m 2, n 2, ... - 정수). 이러한 적분에서 피적분 함수는 적분 변수와 x의 근호에 대해 유리수입니다. x=t s를 대체하여 계산됩니다. 여기서 s는 분수의 공통 분모입니다. ... 이러한 변수 대체를 통해 모든 관계 = r 1, = r 2, ...는 정수입니다. 즉 적분은 다음과 같습니다. 변수 t의 유리함수로 감소됩니다:

형태의 적분(m 1, n 1, m 2, n 2, ... - 정수). 이러한 적분은 다음과 같이 대체됩니다.

여기서 s는 분수의 공통 분모입니다. ...는 변수 t의 유리 함수로 축소됩니다.

형태의 적분 적분 I 1을 계산하려면 근호 기호 아래에서 완전한 정사각형을 선택하십시오.

대체가 적용됩니다.

결과적으로 이 적분은 표 형식으로 축소됩니다.

적분 I 2의 분자에서 근호 아래 표현의 미분이 구별되며 이 적분은 두 적분의 합으로 표시됩니다.

여기서 I 1은 위에서 계산된 적분입니다.

적분 I 3의 계산은 대체에 의해 적분 I 1의 계산으로 축소됩니다.

형태의 적분 이 유형의 적분을 계산하는 특별한 경우는 이전 단락에서 고려됩니다. 이를 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 삼각법 대체 사용을 기반으로 이러한 기술 중 하나를 고려해 보겠습니다.

완전한 제곱을 분리하고 변수를 변경함으로써 제곱 삼항식 ax 2 +bx+c는 다음 형식으로 표현될 수 있습니다. 따라서 세 가지 유형의 적분을 고려하는 것으로 제한하는 것으로 충분합니다:

치환에 의한 적분

u=ksint(또는 u=kcost)

죄와 비용에 관한 합리적인 함수의 적분으로 감소합니다.

형태의 적분(m, n, p ∧ Q, a, b ∅ R). 미분 이항식의 적분이라고 하는 고려 중인 적분은 다음 세 가지 경우에만 기본 함수를 통해 표현됩니다.

1) p − Z이면 대체가 적용됩니다.

여기서 s는 분수 m과 n의 공통 분모입니다.

2) Z이면 대체가 사용됩니다.

여기서 s는 분수의 분모입니다.

3) Z이면 대체가 적용됩니다.

여기서 s는 분수의 분모입니다.

아래에 비합리적인독립 변수 %%x%% 또는 %%n \in \mathbb(N)%% 차수의 다항식 %%P_n(x)%%가 기호 아래에 포함되는 표현식을 이해합니다. 근본적인(라틴어에서 어근- 루트), 즉 분수 거듭제곱으로 올렸습니다. 변수를 대체하면 %%x%%에 대해 무리수인 일부 클래스의 피적분 함수가 새 변수에 대해 유리식으로 축소될 수 있습니다.

하나의 변수에 대한 유리함수의 개념은 여러 인수로 확장될 수 있습니다. 함수의 값을 계산할 때 각 인수 %%u, v, \dotsc, w%%에 대해 산술 연산과 정수 거듭제곱만 제공되면 이러한 인수의 유리수 함수에 대해 말합니다. %%R(u, v, \ dotsc, w)%%로 표시됩니다. 이러한 함수의 인수는 %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% 형식의 근수를 포함하여 독립 변수 %%x%%의 함수일 수 있습니다. 예를 들어 유리함수 $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ with %%u = x, v = \sqrt(x)%% and %% w = \sqrt(x^2 + 1)%%는 $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$(%%x%% 및 근수 %%\sqrt(x)%% 및 %%\sqrt(x) ^2 + 1 )%%, %%f(x)%% 함수는 하나의 독립 변수 %%x%%의 비합리(대수) 함수가 됩니다.

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% 형식의 적분을 생각해 봅시다. 이러한 적분은 변수 %%t = \sqrt[n](x)%%, %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%를 대체하여 합리화됩니다.

실시예 1

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%를 찾으세요.

원하는 인수의 피적분 함수는 %%2%% 및 %%3%% 차수의 근호 함수로 작성됩니다. %%2%%와 %%3%%의 최소 공배수는 %%6%%이므로 이 적분은 %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) 유형의 적분입니다. x %%이며 %%\sqrt(x) = t%%를 대체하여 합리화할 수 있습니다. 그러면 %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%입니다. 따라서 $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% 및 $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(배열) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% 형식의 적분은 분수 선형 무리성의 특별한 경우입니다. %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%% 형식의 적분, 여기서 %% ad - bc \neq 0%%, 이는 변수 %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%를 대체하여 합리화할 수 있으며, 그런 다음 %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. 그러면 $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t가 됩니다. $$

실시예 2

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%를 찾으세요.

%%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, 그러면 %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(배열)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ 따라서 $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\오른쪽) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

%%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% 형식의 적분을 생각해 봅시다. 가장 간단한 경우, 완전한 제곱을 분리한 후 변수가 변경되면 이러한 적분은 표 형식으로 축소됩니다.

실시예 3

적분 %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%를 구합니다.

%%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%를 고려하면 %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%를 취합니다. 그러면 $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(배열) $$

더 복잡한 경우에는 %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% 형식의 적분을 찾는 데 사용됩니다.