صورة هندسية للكرة رباعية الأبعاد.

إيجوروف نيستر الكسندروفيتش

طالب في السنة الرابعة ، قسم الجبر والهندسة ، IMI NEFU ، RF ، ياكوتسك

ه- بريد: egrvnester@ بريد. ru

بوبوف أوليغ نيكولايفيتش

مستشار علمي ، دكتوراه. تقنية. علوم ، أستاذ مشارك IMI NEFU ، RF ، ياكوتسك

في هذا البحث ، نعطي تمثيلاً لكرة رباعية الأبعاد في فضاء رباعي الأبعاد باستخدام أقسامها ثلاثية الأبعاد. لشرح الصعوبات المرتبطة بإدراك الأشياء في الفضاء رباعي الأبعاد ، يتم استخدام طريقة تعتمد على اعتبار المساحات ذات البعد الأقل. تكمن أهمية هذا النهج في حقيقة أنه يسمح لنا بفهم بنية الصور الهندسية للفضاء رباعي الأبعاد ، كما يساهم في تطوير التفكير المكاني والتجريدي. هذا العمل مهم لطلاب المدارس الثانوية وطلاب كليات الرياضيات والعلوم الطبيعية وكذلك معلمي الرياضيات. يتم تقديمه بطريقة مرئية ، دون استخدام الصيغ ، على أساس دورة الهندسة المدرسية فقط.

في الأدبيات العلمية والشعبية ، غالبًا ما يتم ذكر المساحات والأشياء متعددة الأبعاد في وسائل الإعلام. هناك نظريات مختلفة حول الأبعاد المتعددة لكوننا. من الطبيعي أن يقدم الشخص الأشياء الهندسية في شكل مرئي. لذلك ، بعد أن سمع الكثيرون عبارة "الكرة رباعية الأبعاد" ، حاولوا على الفور تصورها في خيالهم. لدينا فكرة جيدة عن كرة ثنائية الأبعاد (هذه دائرة مستلقية على مستوى) ، الكرة ثلاثية الأبعاد هي كائن غالبًا ما يوجد في حياتنا. لكن في الحالة الرباعية الأبعاد ، لا يمكننا بأي حال من الأحوال أن نبني في مخيلتنا صورة هندسية لكرة رباعية الأبعاد. ويرجع ذلك إلى ظهور البعد الرابع الذي يتعذر علينا الوصول إليه.

إن الهدف من عملنا هو التكوين على مستوى حدسي لفهم الصورة الهندسية للكرة رباعية الأبعاد ، التي يمكن فهمها للقارئ. لا يستخدم تعاريف صارمة ، صيغ رياضية. يتم فهم جميع المفاهيم المستخدمة والمصطلحات بشكل حدسي فقط. يتم تقديم جميع المواد بشكل شائع.

تكمن أهمية العمل في حقيقة أنه يسمح لنا بفهم بنية الصور الهندسية للفضاء رباعي الأبعاد ، ويساهم أيضًا في تنمية التفكير المكاني والتجريدي وهو محل اهتمام طلاب المدارس الثانوية وطلاب كليات الرياضيات والعلوم الطبيعية ، وكذلك مدرسو الرياضيات.

الشكل 1. أ) يتقاطع خط مستقيم في فضاء رباعي الأبعاد مع كرة ثلاثية الأبعاد عند نقطة داخلية واحدة فقط ؛ ب) يتقاطع خط مستقيم على مستوى مع كرة ثنائية الأبعاد على طول مقطع ؛ ج) خط مستقيم يقع في الفضاء يتقاطع مع كرة ثنائية الأبعاد عند نقطة واحدة فقط

الفضاء رباعي الأبعاد هو مساحة غير عادية إلى حد ما. نعلم أنه في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يتقاطع الخط المستقيم مع حجم محدب محدد ثلاثي الأبعاد (على سبيل المثال ، كرة) على طول مقطع. الاستثناء هو الحالة عندما يلمس خط مستقيم كائنًا معينًا. في الفضاء رباعي الأبعاد ، يمكن أن يحدث كل شيء بشكل مختلف. يمكن للخط المستقيم أن "يخترق" كرة ثلاثية الأبعاد من خلال ومن خلال ملامسة نقطة داخلية واحدة فقط ، دون الإخلال بمحيطها (الشكل 1 ، أ)). هذا يجعل من الممكن لشخص رباعي الأبعاد (إن وجد) أن يأخذ كل أغراضنا من الحقيبة دون فتحها أو قطعها ، وهو أمر يبدو غير عادي للغاية ولا يمكن تفسيره. لفهم هذا ، ضع في اعتبارك الفضاء ثنائي الأبعاد (الفضاء ثنائي الأبعاد هو مستوى مضمن في الفضاء ثلاثي الأبعاد). سيتقاطع الخط المستقيم على المستوى مع دائرة تقع في المستوى على طول مقطع ، وسيتقاطع خط مستقيم من الفضاء خارج المستوى مع الدائرة عند نقطة واحدة فقط (الشكل 1 ، ب) ، ج)).

لجعل حلقة فقدان الأشياء من الحقيبة أكثر قابلية للفهم ، دعنا نرسم شخصًا ثنائي الأبعاد على السبورة ، ونرسم كليتيه ، وحصوة في الكلى. ثم نأخذ قطعة قماش في أيدينا وبعناية ، دون لمس كليتي شخص ثنائي الأبعاد ، سنمحو الحجر (الشكل 2). الآن يمكننا أن نهنئ أنفسنا على حقيقة أننا أجرينا للتو عملية جراحية ناجحة لإزالة حصوات الكلى دون استخدام شقوق ، وأن مريضنا بصحة جيدة. ما هو خارج عن سيطرة الجراح ثنائي الأبعاد تبين أنه مسألة بسيطة لشخص عادي ثلاثي الأبعاد.

الشكل 2. إزالة حصوة من كلية ثنائية الأبعاد بواسطة طبيب ثلاثي الأبعاد بدون احتياطيات

علاوة على ذلك ، سوف نستخدم هذه التقنية المرتبطة بالانتقال إلى البعد أدناه لشرح الصعوبات المرتبطة بإدراك الأشياء في الفضاء رباعي الأبعاد. إن صعوبات إدراك شخص ثنائي الأبعاد عندما يحاول فهم عالم ثلاثي الأبعاد مماثلة لصعوباتنا عند إدراك فضاء رباعي الأبعاد ، حيث إنها مرتبطة في كلتا الحالتين بظهور بُعد جديد يتعذر الوصول إليه.

يمكن أن يتقاطع فضاءان ثلاثي الأبعاد أو أن يكونا متوازيين في فضاء رباعي الأبعاد. ضع في اعتبارك الحالة التي تتقاطع فيها.

الشكل 3. فضاءان ثلاثي الأبعاد يتقاطعان في فضاء رباعي الأبعاد على مستوى

إذا تقاطع مستويان x و y على طول الخط المستقيم l (الشكل 4) ، فإن المسافات ثلاثية الأبعاد P و Q تتقاطع على طول المستوى α (الشكل 3). بالنسبة لشخص ثنائي الأبعاد ، فإن الخط l (إذا كان معتمًا) سيكون الجدار الذي يقسم عالمه إلى جزأين. وأنصاف المستويات y 1 و y 2 غير موجودة بالنسبة له ، حيث لا يمكن الوصول إليهما في البعد الثالث. بالنسبة لشخص ثلاثي الأبعاد ، مثل هذا الجدار ، الذي يقسم المساحة بأكملها إلى جزأين ، سيكون المستوى α (الشكل 3).

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك مستويين متقاطعين x و y ، على أحدهما تتدحرج كرة ثنائية الأبعاد (الشكل 4). لاحظ أن الشخص ثنائي الأبعاد يرى فقط الخط l من المستوى y ، لأنه في فضاء x الخاص به. أنصاف المستويات y 1 و y 2 غير مرئية بالنسبة له ، لذا فإن الشخص ثنائي الأبعاد في المستوى x سيرى نقطة (الكرة المسطحة تلامس الخط) ، والتي تنقسم بعد ذلك (عبرت الكرة الخط). علاوة على ذلك ، أثناء تحرك الكرة ، ستتباعد النقاط حتى يتزامن خط تقاطع المستويات مع قطر الكرة ، ثم يحدث كل شيء بترتيب عكسي.

الشكل 4. شخص ثنائي الأبعاد يرى فقط نقطة اتصال الدائرة مع مستواها

الآن من السهل أن نفهم ما سنراه ، في الفضاء ثلاثي الأبعاد P ، في حالة عبور الكرة التي يتم إطلاقها من قدم لاعب كرة القدم الموجود في Q مساحتنا. أولاً ، على المستوى α. ستظهر نقطة تتحول على الفور إلى دائرة تتزايد تدريجياً ، وهي تقاطع المستوى α والكرة. بعد أن وصلت إلى الحد الأقصى ، مع نصف قطر يساوي نصف قطر كرة كرة القدم ، ستبدأ في الانخفاض تدريجيًا حتى تتدهور مرة أخرى إلى نقطة ما وتختفي من مجال الرؤية (الشكل 5). ما سنراه عندما يجري لاعب كرة القدم بنفسه خلف الكرة ، سنتركه للقارئ ليتخيله. من أجل الاهتمام ، دعنا نتخيل ماذا يحدث إذا كان لاعب كرة قدم ، بطريقة لا تصدق ، في الفضاء Q ، انهار بطريق الخطأ في مساحتنا P (انظر الشكل 6).

الشكل 5. منظر للكرة التي عبرت فضاء الراصد ، في ديناميكيات

الشكل 6. ظهور لاعب كرة قدم في الفضاء ص خارج الفضاء س

في نسخة ثنائية الأبعاد ، من السهل تخيل طائرتين متوازيتين. يمكن تمثيل الفضاء ثلاثي الأبعاد كمجموعة لا نهائية من المستويات المتوازية "الملتصقة". يمكن الحصول على هذه الفكرة من خلال النظر إلى مجموعة من البطاقات ، حيث ترتبط كل بطاقة بطائرة أو كتاب ، حيث تلعب أوراق هذا الكتاب دور الطائرات.

يمثل الفضاء رباعي الأبعاد أيضًا مجموعة من "ملتصقة ببعضها البعض" ، ولكنها بالفعل مسافات متوازية ثلاثية الأبعاد. حاول أن تتخيل في مخيلتك منطقتين متوازيتين (عالقتان معًا) ، أي تقعان بالقرب من بعضهما البعض ، فضاءات ثلاثية الأبعاد. لن تنجح. المساحات التي نريد تخيلها في خيالنا إما أن تبدأ في التقاطع ، أو أنها لا تريد الاقتراب من بعضها البعض ، والابتعاد عن بعضها البعض. لنكتشف سبب فشلنا. للقيام بذلك ، دعونا نحلل كيف سيحاول شخص ثنائي الأبعاد يعيش في المستوى x أن يتخيل مستويين متوازيين y و z قريبين جدًا من بعضهما البعض. نظرًا لعدم وجود بعد ثالث h لشخص ثنائي الأبعاد (الشكل 7 أ)) ، فسيضطر إلى ترتيبها في مساحته ، على الرغم من أنها في الواقع ستقع بشكل عمودي (أو بزاوية ما) تعبر المستوى x ( الشكل 7 ب)). الآن يصبح من الواضح على الفور سبب فشلنا. نحن نحاول وضع مساحتين ثلاثي الأبعاد في فضاء واحد ثلاثي الأبعاد ، حيث نحن (الشكل 7 ج)) ، عندما يجب أن يمتدوا على طول البعد الرابع الذي لا يمكننا الوصول إليه. من الواضح أنه لا يمكن أن يبدوا متماسكين بأي شكل من الأشكال.

لاحظ أنه يمكن تمثيل الفضاء ثلاثي الأبعاد على أنه أثر تتركه طائرة نتيجة حركتها في اتجاه معين (الشكل 8).

الشكل 7. أ) يحاول شخص ثنائي الأبعاد تخيل طائرتين متوازيتين ؛ ب) الترتيب الحقيقي للطائرات المتوازية ؛ ج) نحاول أن نلائم فضاءين ثلاثي الأبعاد في فضاء واحد ثلاثي الأبعاد

الشكل 8. مساحة ثلاثية الأبعاد تم الحصول عليها بحركة الطائرة

الآن ، كما كان من قبل ، ضع في اعتبارك الفراغين P و Q المتقاطعتين على طول المستوى α (الشكل 9 أ)). يمكن الحصول على كل مساحة من خلال تحريك المستوى α وفقًا لاتجاهات محوري الإحداثيات x و t. بعد ذلك ، نرسم المستوى β في الفضاء P على مسافة قريبة جدًا موازية للمستوى α. من الواضح أن β لن يكون في الفضاء Q. لنبدأ حركة هذه الطائرات في الاتجاه t بحيث تكون الطائرات المتحركة في أي لحظة متوازية وقريبة من بعضها البعض. ثم الفضاء Q والفضاء Q β ، اللذان تم الحصول عليهما بواسطة حركة الطائرتين α و ، على التوالي ، متوازيان وسيكونان على مسافة قريبة جدًا من بعضهما البعض (على مسافة مساوية للمسافة بين المستويين α و ، على طول البعد x). ثم جسمان ثلاثي الأبعاد ، على سبيل المثال ، كرتان ، تقعان في مكانين مختلفين تمامًا ، ولكنهما قريبان من بعضهما البعض ، قد يتضح أن الفراغين المتوازيين Q و Q قريبان جدًا ("ملتصقتان معًا") (الشكل 9 ب)) .

الشكل 9-أ) الطائرة β من البولندية ص قريب ومتوازي مع المستوى α وليس في الفضاء س ؛ ب) مجموعة الطائرات التي تم الحصول عليها من خلال حركة الطائرات α و في الاتجاه ر ، تشكل مساحة متوازية قريبة من بعضها البعض س و س β الكرات المصورة الموجودة في هذه المساحات قريبة من بعضها البعض في جميع النقاط (الكرات "ملتصقة معًا")

يمكن اعتبار كل الفضاء رباعي الأبعاد كمجموعة من المساحات ثلاثية الأبعاد المتوازية والمتقاربة جدًا ("ملتصقة معًا"). إذا أخذنا الوقت على أنه البعد الرابع ، فإن حركة الشخص على آلة الزمن سوف تتوافق مع الانتقال من مساحة موازية إلى أخرى. في هذه الحالة ، على عكس المساحات المتقاطعة ، عندما نرى فقط قسمًا من جسم يتحرك في الفضاء الثاني ، متقاطعًا معنا ، ستظهر فجأة أمامنا آلة الزمن مع شخص يجلس فيها ، والتي سوف تذوب في الماضي أو المستقبل حسب اتجاه حركتها ...

وهكذا: أدركنا أن الفراغات ثلاثية الأبعاد تتقاطع في المستوى. يمكن تمثيل الفضاء رباعي الأبعاد كمجموعة من المساحات المتوازية ثلاثية الأبعاد "الملتصقة معًا" ؛ حصلت على فكرة حول أجسام ثلاثية الأبعاد "ملتصقة ببعضها البعض" تقع في فضاءات متوازية.

ما هي كرة 4D؟ للإجابة على هذا السؤال ، دعنا نحلل كيفية عمل الكرة العادية ثلاثية الأبعاد من وجهة نظر شخص ثنائي الأبعاد. بالطبع ، لا يستطيع رؤية الكرة تمامًا ، ففي مجال رؤيته لا يوجد سوى كرة ثنائية الأبعاد - دائرة تحد دائرة ثنائية الأبعاد ، وهي تقاطع عالم ثنائي الأبعاد مع كرة. (لا يستطيع رؤية ما بداخل الدائرة. الشكل 10 أ)). عند المرور في مسافات متوازية ، ستضيق الدائرة حتى تتدهور إلى نقطة (الشكل 10 ب)).

الشكل 10. أ) يمكن لشخص ثنائي الأبعاد أن يرى فقط جزءًا من الدائرة على حدود المستوى والكرة عند التقاطع ؛ ب) عندما يتحرك الشخص إلى مستويات متوازية ، فإن الدائرة سوف تتدهور تدريجياً إلى نقطة

في حالة الكرة رباعية الأبعاد ، يكون مجال رؤية الشخص محدودًا بالمساحة التي يوجد فيها. بالقياس ، يمكننا أن نفترض أنه يرى كرة تحيط بالكرة ، وهي تقاطع هذا الفضاء ثلاثي الأبعاد مع كرة رباعية الأبعاد. عند المرور في مسافات متوازية ، ستنخفض الكرة أيضًا في نصف القطر حتى تتدهور إلى نقطة (الشكل 11 أ)). الآن دعونا نحاول أن نفهم بمزيد من التفصيل نوع الكرات التي نراها ، وكيف تشكل كرة رباعية الأبعاد.

اعتبر كرة ثلاثية الأبعاد 2 (الشكل 11 ب)) وأقسامها بمستويات متوازية. تشكل مجموعة هذه المستويات المتوازية فضاء ثلاثي الأبعاد بأبعاد y ، z ، t ، حيث توجد الكرة المطلوبة 2. كل من هذه المستويات ، بحركتها في الاتجاه x ، تشكل "ملتصقة ببعضها البعض" ثلاثية الأبعاد المساحات. توجد في هذه المساحات الكرات ثلاثية الأبعاد (انظر الكرة 1) ، والتي نلاحظها أثناء (الموصوفة أعلاه) الانتقالات إلى المساحات المتوازية (الشكل 11 أ)). سيشكل جمع هذه الكرات كرة رباعية الأبعاد. وبالتالي ، فإن الكرة رباعية الأبعاد هي مجموعة من الكرات تلتصق ببعضها البعض في جميع النقاط وتتناقص في الحجم ، مما يشكل الصورة الهندسية للكرة رباعية الأبعاد. ومع ذلك ، لا يمكننا رؤية الصورة الكاملة للكرة ، لأننا لا نستطيع الرؤية خارج مساحتنا.

الشكل 11. أ) يراها الشخص ، عند المرور إلى مسافات متوازية ، كرات ، يتناقص حجمها ؛ ب) الكرة رباعية الأبعاد عبارة عن مجموعة من الكرات المتضائلة "المدمجة" ، وهي أقسام من الكرة رباعية الأبعاد بواسطة مسافات ثلاثية الأبعاد موازية للفضاء ص

فكر في كرة رباعية الأبعاد من جوانب مختلفة. مراقب في فضاء ثلاثي الأبعاد P بأبعاد y و z و t وينظر في الاتجاه t سيرى كرة (الشكل 12) ، والتي تتكون من أقسام من الكرات التي تشكل كرة رباعية الأبعاد (في الشكل 11) هذه هي الكرة 2).

المراقب في الفضاء Q والنظر في الاتجاه x سيرى أيضًا كرة ثلاثية الأبعاد (الشكل 12). وهكذا ، يرى المراقبون في فضاء P و Q نفس الصورة - كرة ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك ، فإن الكرات التي يلاحظونها هي كائنات هندسية مختلفة في مساحات مختلفة وتتقاطع في دائرة ثنائية الأبعاد.

الشكل 12. المراقبون في المساحات المتقاطعة ص و س رؤية كرة ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك ، في الواقع ، إنهم يرصدون كرات مختلفة تتقاطع في kugu

لسوء الحظ بالنسبة لنا ، كما هو مذكور أعلاه ، يقتصر مجال رؤيتنا على الفضاء ثلاثي الأبعاد ، لذلك لا يمكننا رؤية الصور رباعية الأبعاد ككل. ومع ذلك ، طور عالم الرياضيات البريطاني سي هينتون (1853-1907) طريقة خاصة لبناء النماذج الأشكال الهندسيةفي فضاء رباعي الأبعاد على طول أقسامها ثلاثية الأبعاد. تم تفصيل هذه الطريقة في اثنين من دراساته. ادعى هينتون أنه نتيجة لسنوات عديدة من العمل ، والذي كان قائمًا على هذه الطريقة الخاصة ، تعلم أن يمثل عقليًا الصور الهندسية في فضاء رباعي الأبعاد. كان يعتقد أيضًا أن الشخص الذي يتقن هذه الطريقة جيدًا بما يكفي سيكتسب فهمًا بديهيًا للفضاء رباعي الأبعاد.

فهرس:

1. هينتون تشارلز هـ. حقبة جديدة من الفكر. عام 1888 ، أعيد طبعه عام 1900 ، بواسطة Swan Sonnenschein & Co. المحدودة ، لندن - ص. 240.

لقد صنعت مؤخرًا متتبعًا بسيطًا لأشعة المشهد ثلاثي الأبعاد. تمت كتابته بلغة JavaScript ولم يكن سريعًا جدًا. من أجل المتعة ، كتبت متتبع شعاع في C وأعطيته وضع عرض رباعي الأبعاد - في هذا الوضع يمكنه عرض مشهد رباعي الأبعاد على شاشة مسطحة. ستجد أسفل المقطع العديد من مقاطع الفيديو والعديد من الصور ورمز raytracer.

لماذا تكتب برنامج منفصل لرسم مشهد رباعي الأبعاد؟ يمكنك التقاط متتبع شعاع عادي ، ووضعه في مشهد رباعي الأبعاد والحصول على صورة مثيرة للاهتمام ، ولكن هذه الصورة لن تكون إسقاطًا للمشهد بأكمله على الشاشة. المشكلة هي أن المشهد له 4 أبعاد ، والشاشة هي 2 فقط ، وعندما يطلق جهاز تتبع الشعاع أشعة عبر الشاشة ، فإنه يغطي فقط مساحة فرعية ثلاثية الأبعاد وفقط شريحة ثلاثية الأبعاد من مشهد رباعي الأبعاد سوف تكون مرئية على الشاشة. تشبيه بسيط: حاول عرض مشهد ثلاثي الأبعاد على خط أحادي الأبعاد.

اتضح أن مراقب ثلاثي الأبعاد برؤية ثنائية الأبعاد لا يمكنه رؤية المشهد رباعي الأبعاد بالكامل - في أحسن الأحوال ، سيرى جزءًا صغيرًا فقط. من المنطقي أن نفترض أنه من الأنسب فحص مشهد رباعي الأبعاد برؤية ثلاثية الأبعاد: ينظر مراقب رباعي الأبعاد إلى كائن ما ويتشكل إسقاط ثلاثي الأبعاد على نظيره ثلاثي الأبعاد لشبكية العين. سيقوم برنامجي بتتبع هذا الإسقاط ثلاثي الأبعاد. بعبارة أخرى ، يمثل جهاز تتبع الأشعة ما يراه مراقب رباعي الأبعاد برؤيته ثلاثية الأبعاد.

ميزات الرؤية ثلاثية الأبعاد

تخيل أنك تنظر إلى دائرة من الورق أمام عينيك مباشرة - في هذه الحالة ، سترى دائرة. إذا وضعت هذه الدائرة على الطاولة ، فسترى قطع ناقص. إذا نظرت إلى هذه الدائرة من مسافة ، فستظهر أصغر. وبالمثل بالنسبة للرؤية ثلاثية الأبعاد: ستظهر الكرة رباعية الأبعاد للمراقب على شكل إهليلجي ثلاثي الأبعاد. فيما يلي بعض الأمثلة. في الأول ، تدور 4 أسطوانات متعامدة بشكل متبادل. في الثانية ، يدور إطار مكعب رباعي الأبعاد.

دعنا ننتقل إلى التأملات. عندما تنظر إلى كرة ذات سطح عاكس (زخرفة شجرة عيد الميلاد ، على سبيل المثال) ، يبدو الانعكاس مرسومًا على سطح الكرة. أيضًا للرؤية ثلاثية الأبعاد: أنت تنظر إلى كرة رباعية الأبعاد وترسم الانعكاسات كما لو كانت على سطحها. فقط سطح الكرة الرباعية الأبعاد هو ثلاثي الأبعاد ، لذلك عندما ننظر إلى الإسقاط ثلاثي الأبعاد للكرة ، فإن الانعكاسات ستكون في الداخل ، وليس على السطح. إذا قمنا بعمل ذلك بحيث يطلق الراستر شعاعًا ووجد أقرب تقاطع مع الإسقاط ثلاثي الأبعاد للكرة ، فسنرى دائرة سوداء - سطح الإسقاط ثلاثي الأبعاد سيكون أسود (هذا يتبع من صيغ فرينل). تبدو هكذا:

بالنسبة للرؤية ثلاثية الأبعاد ، هذه ليست مشكلة ، لأن الكرة ثلاثية الأبعاد بأكملها مرئية لها والنقاط الداخلية مرئية وكذلك تلك الموجودة على السطح ، لكني بحاجة إلى نقل هذا التأثير بطريقة ما على شاشة مسطحة ، لذلك صنعت وضع رايتراسر إضافي عندما ترى أن الأجسام ثلاثية الأبعاد تبدو كما لو كانت دخانية: الشعاع يمر من خلالها ويفقد الطاقة تدريجيًا. اتضح مثل هذا:

وينطبق الشيء نفسه على الظلال: فهي لا تسقط على السطح ، بل داخل إسقاطات ثلاثية الأبعاد. اتضح أنه داخل كرة ثلاثية الأبعاد - إسقاط كرة رباعية الأبعاد - يمكن أن تكون هناك منطقة مظلمة على شكل إسقاط لمكعب رباعي الأبعاد ، إذا كان هذا المكعب يلقي بظلاله على الكرة. لم أفهم كيفية نقل هذا التأثير على شاشة مسطحة.

الاقوي

يعد تتبع الأشعة في مشهد رباعي الأبعاد أكثر صعوبة من المشهد ثلاثي الأبعاد: في حالة 4D ، تحتاج إلى العثور على ألوان منطقة ثلاثية الأبعاد ، وليست مسطحة. إذا قمت بكتابة جهاز Raytracer وجهاً لوجه ، فستكون سرعته منخفضة للغاية. هناك نوعان من التحسينات البسيطة التي يمكن أن تقلل من وقت عرض صورة 1000 × 1000 إلى بضع ثوانٍ.

أول ما يلفت انتباهك عند النظر إلى مثل هذه الصور هو مجموعة من البكسلات السوداء. إذا قمت برسم منطقة يصطدم فيها جهاز تتبع الشعاع بجسم واحد على الأقل ، فستحصل على ما يلي:

يمكن ملاحظة أن حوالي 70٪ من البكسلات السوداء ، وأن المنطقة البيضاء متصلة (وهي متصلة لأن المشهد رباعي الأبعاد متصل). يمكنك حساب ألوان البكسل خارج الترتيب ، ولكن تخمين بكسل أبيض واحد وعمل تعبئة منه. سيؤدي هذا إلى تتبع شعاع البكسل الأبيض فقط + بعض البكسلات السوداء التي تمثل حدًا يبلغ 1 بكسل للمنطقة البيضاء.

يتم الحصول على التحسين الثاني من حقيقة أن الأشكال - الكرات والأسطوانات - محدبة. هذا يعني أنه بالنسبة لأي نقطتين في مثل هذا الشكل ، فإن الجزء الذي يربط بينهما يقع أيضًا بالكامل داخل الشكل. إذا تقاطع الشعاع مع كائن محدب ، بينما تقع النقطة A داخل الكائن ، وكانت النقطة B في الخارج ، فلن يتقاطع باقي الحزمة من الجانب B مع الكائن.

بعض الأمثلة الأخرى

هنا المكعب يدور حول المركز. لا تلمس كرة المكعب ، ولكن في الإسقاط ثلاثي الأبعاد ، يمكن أن تتقاطع.

في هذا الفيديو ، المكعب ثابت والمراقب رباعي الأبعاد يطير عبر المكعب. هذا المكعب ثلاثي الأبعاد الذي يبدو أكبر هو أقرب إلى الراصد ، والأصغر هو الأبعد.

يوجد أدناه الدوران الكلاسيكي في طائرات المحاور 1-2 و 3-4. يتم الحصول على هذا الدوران من خلال حاصل ضرب مصفوفتي Givens.

كيف يعمل جهاز raytracer الخاص بي

الرمز مكتوب في ANSI C 99. يمكنك تنزيله. لقد اختبرت على ICC + Windows و GCC + Ubuntu.

يقبل البرنامج ملف نصي مع وصف للمشهد كمدخل.

المشهد = (الكائنات = - قائمة الكائنات في المشهد (مجموعة - مجموعة من الكائنات يمكن أن يكون لها تحويل أفيني معين (axiscyl1 ، axiscyl2 ، axiscyl3 ، axiscyl4)) ، أضواء = - قائمة الأضواء ((0.2 ، 0.1 ، 0.4 ، 0.7) ، 1) ، الضوء ((7 ، 8 ، 9 ، 10) ، 1) ،)) axiscylr = 0.1 - نصف قطر الأسطوانة axiscyl1 = الأسطوانة ((-2 ، 0 ، 0 ، 0) ، (2 ، 0 ، 0، 0)، axiscylr، material = (color = (1، 0، 0))) axiscyl2 = الاسطوانة ((0، -2، 0، 0)، (0، 2، 0، 0)، axiscylr، material = (اللون = (0 ، 1 ، 0))) المحور 3 = الأسطوانة ((0 ، 0 ، -2 ، 0) ، (0 ، 0 ، 2 ، 0) ، المحور ، المادة = (اللون = (0 ، 0 ، 1) ))) axiscyl4 = اسطوانة ((0 ، 0 ، 0 ، -2) ، (0 ، 0 ، 0 ، 2) ، المحور ، المادة = (اللون = (1 ، 1 ، 0)))

ثم يوزع هذا الوصف ويخلق مشهدًا في تمثيله الداخلي. اعتمادًا على أبعاد الفضاء ، فإنه يعرض المشهد ويحصل إما على صورة رباعية الأبعاد كما هو مذكور أعلاه في الأمثلة ، أو صورة ثلاثية الأبعاد عادية. لتحويل متتبع شعاع 4-D إلى ثلاثي الأبعاد ، قم بتغيير المعامل vec_dim من 4 إلى 3 في ملف vector.h. يمكنك أيضًا تعيينه في معلمات سطر الأوامر للمترجم. التجميع في دول مجلس التعاون الخليجي:

القرص المضغوط / المنزل / اسم االمستخدم/ rt /
مجلس التعاون الخليجي -lm -O3 * .c -o RT

اختبار المدى:

/ الصفحة الرئيسية / اسم االمستخدم/ RT / RT cube4d.scene cube4d.bmp

إذا قمت بتجميع جهاز تتبع شعاع باستخدام vec_dim = 3 ، فسوف ينتج عنه مكعب منتظم لمشهد cube3d.scene.

كيف تم صنع الفيديو

للقيام بذلك ، كتبت نصًا في Lua قام ، لكل إطار ، بحساب مصفوفة التدوير وإضافتها إلى المشهد المرجعي.

المحاور = ((0.933 ، 0.358 ، 0 ، 0) ، - المحور 1 (-0.358 ، 0.933 ، 0 ، 0) ، - المحور 2 (0 ، 0 ، 0.933 ، 0.358) ، - المحور 3 (0 ، 0 ، -0.358 ، 0.933) - المحور 4) المشهد = (الكائنات = (المجموعة (المحاور = المحاور ، axiscyl1 ، axiscyl2 ، axiscyl3 ، axiscyl4))) ،)

يحتوي كائن المجموعة ، بالإضافة إلى قائمة الكائنات ، على معلمتين للتحويل: المحاور والأصل. من خلال تغيير المحاور ، يمكنك تدوير جميع الكائنات في المجموعة.

ثم دعا البرنامج النصي raytracer المترجم. عندما تم عرض جميع الإطارات ، دعا البرنامج النصي mencoder وقام بتجميع الفيديو من الصور الفردية. تم إنشاء الفيديو بطريقة يمكن ضبطها على التكرار التلقائي - أي نهاية الفيديو هي نفس البداية. يعمل البرنامج النصي على النحو التالي:

Luajit animate.lua

وأخيرًا ، يوجد في هذا الأرشيف 4 ملفات avi 1000 × 1000. كل منهم دوري - يمكنك ضبطه على التكرار التلقائي وستحصل على رسم متحرك عادي.

العلامات:

• رايتراسر
• مساحة رباعية الأبعاد

منذ بعض الوقت ، ظهرت ورقتان على موقع ما قبل الطباعة arXiv.org ، مكرسة لمشكلة التعبئة الأكثر كثافة للكرات في المساحات ذات الأبعاد 8 و 24. حتى الآن ، كانت النتائج المماثلة معروفة فقط للأبعاد 1 و 2 و 3 ( وهنا ليس الأمر بهذه البساطة ، ولكن أكثر من ذلك أدناه). تم تحقيق الاختراق - ونحن نتحدث عن اختراق ثوري حقيقي - بفضل عمل مارينا فيازوفسكايا ، عالمة الرياضيات من أصل أوكراني والتي تعمل الآن في ألمانيا. سنروي قصة هذا الإنجاز في عشر قصص قصيرة.

1.

في القرن السادس عشر ، عاش الشاعر والشاعر الشهير السير والتر رالي في إنجلترا. كان مشهورًا ، أولاً وقبل كل شيء ، لأنه ، في يوم من الأيام ، ألقى عباءته الباهظة الثمن في بركة مياه أمام الملكة ، حتى لا تتسخ قدميها. لكن ليس هذا هو السبب في أنه مثير للاهتمام بالنسبة لنا.

كان لدى السير والتر رالي شغف - كان مغرمًا جدًا بسرقة السفن الإسبانية والبحث عن El Dorado. ثم في أحد الأيام رأى رالي مجموعة من قذائف المدفعية المكدسة على متن السفينة. وظننت (حدث هذا للحاشية البريطانية) ، كما يقولون ، سيكون من الرائع معرفة عدد النوى الموجودة في كومة دون حسابها. فوائد هذه المعرفة واضحة ، خاصة إذا كنت تستمتع بنهب البحرية الإسبانية.

والتر رالي

لم يكن رالي نفسه جيدًا في الرياضيات ، لذلك طرح هذه المشكلة على مساعده توماس هاريوت. هو ، بدوره ، كان قويًا في الرياضيات (هاريوت ، بالمناسبة ، هو مخترع العلامات ">" و "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

للتعليق ، لجأ إلى عالم الرياضيات الشهير في عصره ، يوهانس كيبلر ، ثم مساعد تايكو براهي. لم يعط كبلر إجابة ، لكنه تذكر المشكلة. في عام 1611 ، نشر كتيبًا صغيرًا ناقش فيه أربعة أسئلة: لماذا تكون أقراص العسل سداسية ، ولماذا يتم تجميع بتلات الزهور في أغلب الأحيان في خمسات ( ربما قصد كبلر فقطالوردية - تقريبا. N + 1) ، لماذا تأخذ حبات الرمان شكل ثنائيات عشرية (وإن كانت غير منتظمة) ولماذا ، أخيرًا ، رقاقات الثلج لها شكل سداسي.

يوهانس كبلر

كان القصد من الكتيب أن يكون هدية ، لذا فقد كان قراءة فلسفية ومسلية أكثر من كونه عملًا علميًا حقيقيًا. ربط كبلر الإجابة على السؤال الأول بشرطين - يجب ألا تكون هناك فجوات بين الخلايا ، ويجب أن يكون مجموع مناطق الخلايا في حده الأدنى. ربط المؤلف السؤال الثاني بأرقام فيبوناتشي ، ودفعت المحادثة حول رقاقات الثلج كبلر إلى التكهن حول التماثلات الذرية.

السؤال الثالث أدى إلى فرضية أن التعبئة الضيقة سداسية(في الصورة أدناه) هو الأكثر كثافة (مما يعني أن هذا بالمعنى الرياضي أدناه أيضًا). بالطبع ، لم يعتبر كبلر أنه من الضروري الإشارة إلى هاريوت. لذلك ، يسمى هذا البيان بفرضية كبلر. قانون ستيجلر - المعروف أيضًا باسم مبدأ أرنولد - قيد التنفيذ.

نعم ، بعد 7 سنوات من نشر هذا الكتيب ، قطع رأس السير والتر رالي. ومع ذلك ، هذا لا علاقة له بمشكلة التعبئة الضيقة.

2.

وفقًا للمعايير الحديثة ، لم تكن المهمة التي كان هاريوت يحلها صعبة. لذلك ، سنقوم بتحليلها بمزيد من التفصيل. في الوقت نفسه ، سوف نفهم بشكل أفضل كيف تعمل التعبئة الكثيفة السداسية.

لذا ، فإن الشرط الرئيسي هو أن مجموعة من النوى لا تتدحرج أثناء التدحرج. لذلك ، نضع الألباب في صف واحد على سطح السفينة. في الصف التالي نضع النوى بحيث يتم وضع الكرات في الفتحات بين كرات الصف الأول. إذا كان هناك عدد n من الكرات في الصف الأول ، فسيكون هناك n - 1 في الصف الثاني (لأن الفجوات بين الكرات أقل بمقدار واحد من الكرات نفسها). سيكون الصف التالي عبارة عن عدد نوى واحد أقل. وهكذا ، حتى نحصل على مثل هذا المثلث (إذا نظرت إلى التخطيط أعلاه):

أولئك الذين يتذكرون ما هو التقدم الحسابي يمكنهم بسهولة حساب أنه إذا كان هناك n من الكرات في الصف الأول ، فعندئذ هناك n (n + 1) / 2 كرات في مثل هذا المثلث. عندما ينظر إليها من أعلى ، هناك فترات راحة مريحة بين الكرات. سنضيف الطبقة الثانية من الكرات هناك. تحصل على مثلث ، منظم مثل الأول ، مع عدد أقل من الكرات على الجانب. هذا يعني أننا نضع n (n - 1) / 2 كرات أخرى في الكومة.

استمر في وضع الطبقات حتى نحصل على طبقة كرة واحدة. حصلنا على هرم مثلثي من النوى. لمعرفة عدد النوى الإجمالي ، تحتاج إلى إضافة عدد النوى في كل طبقة. إذا كانت الطبقة الأولى مع الجانب n ، فإننا نحصل على n من الطبقات ، والتي في المجمل تعطي n (n + 1) (n + 2) / 6. سيلاحظ القارئ الفضولي أن هذا هو بالضبط المعامل ذي الحدين C 3 n + 2. هذه المصادفة الاندماجية ليست عرضية هنا ، لكننا لن نتعمق فيها.

بالمناسبة ، بالإضافة إلى هذه المهمة ، كان هاريوت قادرًا على تحديد نصيب النوى تقريبًا في حاوية كبيرة بما يكفي ، إذا اتخذنا شكل الأخير كمكعب. اتضح أن النسبة هي π / (3√2) 0.74048.

3.

ماذا تعني كلمة الأكثر كثافةفي بيان المشكلة؟ لم يعط رالي وهاريوت وكبلر نفسه إجابة دقيقة على هذا السؤال. كان يعني الأكثر كثافة بالمعنى المعقول. ومع ذلك ، بالنسبة للرياضيات ، هذه الصيغة ليست مناسبة. يحتاج إلى توضيح.

دعنا أولاً ننزل بعدًا واحدًا أدناه ونرى كيف يعمل كل شيء على المستوى. بالنسبة للحالة ثنائية الأبعاد ، تتحول المشكلة إلى ما يلي: دع مجموعة لا نهائية من مفككة على الجزء الداخلي (ولكن ، ربما ، متجاورة - أي وجود نقطة مشتركة على الحدود) تُعطى على المستوى. لنرسم مربعًا. لنحسب مجموع مساحات قطع الدوائر داخل المربع. لنأخذ نسبة هذا المجموع إلى مساحة المربع ، وسنزيد جانب المربع ، اعتمادًا على التغيير في النسبة.

نحصل على الوظيفة و (أ)، أين أ- جانب المربع. إذا كنا محظوظين ، فإن هذه الوظيفة تنمو ستقترب الحجة بشكل مقارب إلى رقم معين. هذا الرقم يسمى كثافة الحزمة المعطاة. من المهم أن تعطي الوظيفة نفسها في مرحلة ما قيمة كثافة أكبر. في الواقع ، إذا كان المربع صغيرًا ، فإنه يتناسب تمامًا مع دائرة ونسبة معينة هي 1. لكننا مهتمون بالكثافة في المتوسط ​​، أي التحدث بشكل غير رسمي "لمربع به جانب كبير بدرجة كافية".

من بين كل هذه الكثافات ، يمكن العثور على الحد الأقصى. هي ، وكذلك العبوة التي تدركها ، وستسمى الأكثر كثافة.

"التعبئة الأكثر كثافة ليست بالضرورة الوحيدة (بالمعنى المقارب). يقول أوليج موسين من جامعة تكساس في براونزفيل: "إن الحزم الأكثر كثافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد - هناك عدد لا نهائي من الحزم ، وقد عرفها كيبلر".

بعد أن حددنا مفهوم التعبئة الأكثر كثافة ، من السهل أن نفهم أن مثل هذا التعريف يمكن أن يمتد بسهولة إلى مساحة ذات بعد تعسفي n. في الواقع ، نحن نستبدل الدوائر بكرات ذات البعد المقابل ، أي مجموعات من النقاط ، لا تتجاوز المسافة التي من خلالها إلى النقطة الثابتة (تسمى المركز) قيمة معينة ، تسمى نصف قطر الكرة. دعونا نرتبهم مرة أخرى حتى لا يكون لأي اثنين في أحسن الأحوال أي نقاط مشتركة على الإطلاق. دعونا نحدد نفس الوظيفة كما في الحالة السابقة ، مع أخذ حجم المكعب ذي البعد n ومجموع أحجام الكرات ذات الأبعاد n المقابلة.

4.

لذلك ، أدركنا أن تخمين كبلر هو مشكلة التعبئة الأكثر كثافة للكرات ثلاثية الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وماذا عن الطائرة (منذ أن بدأنا بها)؟ أو حتى خط مستقيم؟ مع وجود خط مستقيم ، كل شيء بسيط: الكرة على خط مستقيم هي جزء. يمكن تغطية الخط المستقيم بالكامل بأجزاء متطابقة متقاطعة في النهايات. مع هذه التغطية ، وظيفة و (أ)ثابت ويساوي 1.

على متن الطائرة ، كان كل شيء أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لذا ، لنبدأ بمجموعة من النقاط على المستوى. نقول أن هذه المجموعة من النقاط تشكل شبكة إذا كان من الممكن العثور على زوج من المتجهات v و ​​w بحيث يتم الحصول على جميع النقاط كـ N * v + M * w ، حيث N و M عدد صحيح. وبالمثل ، يمكن تعريف الشبكة في مساحة ذات بُعد كبير بشكل تعسفي - إنها تتطلب فقط المزيد من المتجهات.

تعتبر المشابك مهمة لأسباب عديدة (على سبيل المثال ، في المواقع الشبكية التي تفضل الذرات أن تكون موجودة عندما يتعلق الأمر بالمواد الصلبة) ، لكنها جيدة لعلماء الرياضيات لأنها مريحة للغاية للعمل معها. لذلك ، من بين جميع العبوات ، يتم تمييز فئة منفصلة حيث توجد مراكز الكرات عند العقد الشبكية. إذا قصرنا أنفسنا على هذه الحالة ، فلا يوجد على متن الطائرة سوى خمسة أنواع من المشابك. يتم توفير التعبئة الأكثر إحكامًا من خلال الطريقة التي يتم بها وضع النقاط عند رؤوس الأشكال السداسية المنتظمة - مثل أقراص العسل في النحل أو الذرات في الجرافين. تم إثبات هذه الحقيقة من قبل لاغرانج عام 1773. بتعبير أدق: لم يكن لاغرانج مهتمًا بالعبوات الكثيفة ، ولكنه كان مهتمًا بالأشكال التربيعية. بالفعل في XX ، أصبح من الواضح أنه من نتائجه على النموذج يتبع نتيجة على كثافة التعبئة للشبكات ثنائية الأبعاد.

في عام 1831 كتب لودفيج سيبر كتابًا عن الأشكال التربيعية الثلاثية. في هذا الكتاب ، تم طرح فرضية تعادل تخمين كيبلر عن العبوات الشبكية. كان سيبر نفسه قادرًا على إثبات شكل ضعيف فقط من فرضيته واختبارها لعدد كبير من الأمثلة. تمت مراجعة هذا الكتاب من قبل كارل فريدريش جاوس العظيم. في هذا الاستعراض ، يقدم Gauss دليلًا رائعًا حقًا يناسب 40 سطرًا. هذا ، كما نقول الآن ، دليل "الأولمبياد" متاح لفهمه من قبل طالب في المدرسة الثانوية. لقد حاول العديد من علماء الرياضيات إيجاد المعنى الخفي في برهان غاوس ، لكن حتى الآن لم ينجح أحد "، كما يقول أوليغ موسين.

ومع ذلك ، ماذا يحدث إذا تخلينا عن حالة الشبكة؟ هنا يتبين أن كل شيء أكثر تعقيدًا إلى حد ما. قام عالم الرياضيات النرويجي أكسل ثو بأول محاولة كاملة للتعامل مع هذه القضية. إذا نظرت إلى صفحة Thue على ويكيبيديا ، فلن نجد أي شيء عن التعبئة الضيقة هناك. هذا أمر مفهوم - نشر Thue عملين ، يذكرنا بالمقالات أكثر من الأعمال الرياضية العادية ، حيث قام ، كما بدا له ، بحل مشكلة التعبئة الكثيفة تمامًا. كانت المشكلة الوحيدة هي أنه لم يقتنع أحد باستثناء ثيو نفسه بمنطقه.

لازلو فايز توث

دانزر ، لودفيج / ويكيميديا ​​كومنز

تم حل المشكلة أخيرًا من قبل عالم الرياضيات المجري لازلو فيجيس توث في عام 1940. بالمناسبة ، اتضح أن ترتيب الدوائر على متن الطائرة ، مع إدراك التعبئة الأكثر كثافة ، فريد من نوعه.

5.

ترتبط مشكلة إغلاق التعبئة ارتباطًا وثيقًا بمشكلة رقم الاتصال. لنلق نظرة على دائرة على مستوى مرة أخرى. كم عدد الدوائر التي لها نفس نصف القطر يمكن وضعها حولها بحيث تلامس جميعها الدائرة المركزية؟ الجواب ستة. في الواقع ، لننظر إلى دائرتين متجاورتين على اتصال مع الدائرة المركزية. لنلق نظرة على المسافة من مركز الدائرة المركزية إلى مركزي هذين الاثنين. إنها متساوية 2R، أين رهو نصف قطر الدائرة. لا تتجاوز المسافة بين مراكز الدوائر المجاورة 2R.بحساب الزاوية في مركز الدائرة المركزية باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد أنها لا تقل عن 60 درجة. يجب أن يكون مجموع الزوايا المركزية 360 درجة ، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك أكثر من 6 زوايا من هذا القبيل. ونعرف موقع الدوائر بستة زوايا.

الرقم الناتج يسمى رقم الاتصال الخاص بالطائرة. يمكن طرح سؤال مشابه عن المساحات من أي بُعد. دع بساطة الحل على المستوى لا تضلل القارئ - مشكلة أرقام الاتصال ، إذا كانت أبسط من مشكلة التعبئة الكثيفة ، ليست قوية. لكن هناك بالفعل المزيد من النتائج في هذا الاتجاه.

بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، أصبح رقم الاتصال موضوع جدل عام بين إسحاق نيوتن نفسه وجيمس جريجوري في 1694. الأول يعتقد أن رقم جهة الاتصال يجب أن يكون 12 ، والثاني هو 13. الشيء هو أن 12 كرة حول الكرات المركزية يسهل ترتيبها - تقع مراكز هذه الكرات عند رؤوس مجسم عشري الوجوه منتظم (لديه 12 فقط منهم). لكن هذه الكرات لا تلمس! للوهلة الأولى ، يبدو أنه يمكن تحريكها بحيث تزحف كرة أخرى ، وهي الكرة رقم 13 ، من خلالها. يكاد يكون هذا صحيحًا: إذا تم تحريك الكرات قليلاً عن بعضها البعض ، فإن المسافة بين مراكزها ووسط الوسط ليست كذلك 2R ،لكن في المجموع 2.06R ،ثم ستناسب 13 كرة بالفعل. لكن بالنسبة للكرات المؤثرة ، كان غريغوري مخطئًا - وقد تم إثبات هذه الحقيقة من قبل فان دير واردن وشوت في عام 1953.

بالنسبة للبعد 4 ، تم حل هذه المشكلة بواسطة Oleg Musin في عام 2003. هناك ، تبين أن رقم الاتصال هو 24.

6.

بالإضافة إلى هذه الأبعاد 1 و 2 و 3 و 4 ، تُعرف أرقام الاتصال أيضًا في الأبعاد 8 و 24. لماذا بالضبط هذه الأبعاد؟ النقطة المهمة هي أن هناك مشابك مثيرة جدًا للاهتمام ، تسمى E8 و Leech lattice.

لذلك ، لقد اكتشفنا بالفعل ما هي الشبكة. من الخصائص المهمة للشبكة في الرياضيات تناسقها. يُفهم التماثل ، بالطبع ، ليس الأحاسيس الذاتية (ومن سيمثل هذه الشبكة في أبعاد ، على سبيل المثال ، أربعة؟) ، ولكن عدد الأنواع المختلفة من الحركات الفضائية التي تترجم هذه الشبكة إلى نفسها. دعونا نوضح بمثال.

دعونا نأخذ نفس الشبكة السداسية التي تدرك أقرب تعبئة على متن الطائرة. من السهل أن نفهم أن الشبكة تتحول إلى نفسها إذا قمنا بتحويلها بواسطة المتجهين v و w ، اللذين كانا في التعريف. ولكن ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تدوير الشبكة حول مركز السداسي. وهناك ما يصل إلى 6 دورات: عند 0 ، 60 ، 120 ، 180 ، 240 ، 300 درجة. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن عرض الشبكة بشكل متماثل حول أي محور تناظر للمركب السداسي. يظهر القليل من التمرين أنه ، باستثناء التحولات ، نحصل على 12 تحويلًا. في المشابك الأخرى ، هناك عدد أقل من هذه التحولات ، لذلك نقول إنها أقل تماثلًا.

حسنًا ، E8 وشبكة Leach عبارة عن شبكات متناظرة بشكل لا يصدق. يقع E8 في مساحة 8 أبعاد. اخترع عالم الرياضيات الروسي كوركين وزولوتاريف هذه الشبكة في عام 1877. يتكون من متجهات ، جميع إحداثياتها أعداد صحيحة ، ومجموعها زوجي. مثل هذه الشبكة ، ناقص التحولات ، لديها 696.729.600 تحويل. توجد شبكة Leech Grid في مساحة ذات أربعة وعشرين بعدًا. وهو يتألف من متجهات بإحداثيات عدد صحيح وشرط - مجموع الإحداثيات مطروحًا منه أي إحداثي ، مضروبًا في 4 ، قابل للقسمة على 8. وهو يحتوي فقط على عدد هائل من التماثلات - 8315553613867720000 قطعة.

لذلك ، في الفضاء ذي الأبعاد الثمانية و 24 بعدًا ، تلمس الكرات الموجودة في رؤوس هذه المشابك 240 و 19650 كرة على التوالي. والمثير للدهشة أن هذا هو بالضبط ما هي أرقام الاتصال (انظر البند 5) للمسافات ذات البعد المقابل.

7.

لنعد الآن إلى الحالة ثلاثية الأبعاد وفرضية كبلر (نفس الحالة التي تحدثنا عنها في البداية). تبين أن هذه المهمة أصعب بكثير من سابقاتها.

بادئ ذي بدء ، هناك عدد لا نهائي من العبوات بنفس كثافة العبوات السداسية الكثيفة. بدأنا في وضعه ، بدءًا من الكرات الموضوعة في عقد الشبكة السداسية. لكن يمكنك القيام بذلك بشكل مختلف: على سبيل المثال ، في المستوى الأول ، قم بطي الكرات في مربع ، أي ، بحيث تقع قمم الكرات عند عقد شبكة شعرية مربعة. في هذه الحالة ، تلمس كل كرة أربعة جيران. الطبقة الثانية ، كما في حالة الطبقة السداسية ، سيتم وضعها في الأعلى في الفتحات بين كرات الطبقة الأولى. هذه العبوة تسمى تغليف مكعب محوره الوجه.هذا ، بالمناسبة ، هو الوحيد الأكثر كثافة للتعبئة الشبكية في الفضاء.

للوهلة الأولى ، يبدو أن هذه التعبئة يجب أن تكون أسوأ ، لأن الفجوات بين الكرات الأربع في الطبقة الأولى أكبر بكثير (حسب الأحاسيس) من الفجوات في التعبئة الكثيفة السداسية. ولكن عندما نضع الصف الثاني ، فإن الكرات - على وجه التحديد بسبب حقيقة أن الفتحات أكبر - تغرق بشكل أعمق. نتيجة لذلك ، كما اتضح ، فإن الكثافة هي نفسها كما كانت من قبل. في الواقع ، بالطبع ، الحيلة هي أن هذا النوع من التعبئة يتم الحصول عليه إذا نظرت إلى الشكل السداسي من زاوية مختلفة.

اتضح أنه في الفضاء ثلاثي الأبعاد لا توجد مثل هذه المشابك الفريدة الجميلة ، على سبيل المثال ، سداسية على مستوى أو E8 في مساحة 8 أبعاد. للوهلة الأولى ، من غير المفهوم تمامًا كيفية البحث عن التعبئة الأكثر كثافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

8.

وُلد حل فرضية كبلر على عدة مراحل.

أولاً ، قدم Fejes Thoth ، المجري نفسه الذي حل مشكلة التعبئة الكثيفة وليس على متن الطائرة ، الفرضية التالية: من أجل فهم ما إذا كانت التعبئة أكثر كثافة أم لا ، يكفي النظر في مجموعات محدودة من الكرات. كما اكتشفنا ، على عكس الطائرة ، إذا لمست الكرة المركزية 12 جارًا ، فهناك فجوات بينهما. لذلك ، اقترح Feyesh Toth دراسة العناقيد التي تتكون من كرة مركزية وجيرانها وجيرانها.

الشيء هو أن هذا الافتراض تم إجراؤه في الستينيات من القرن الماضي. ومشكلة تقليل حجم مثل هذا التجمع هي في الأساس مشكلة تحسين غير خطية لوظيفة من حوالي 150 متغيرًا (كل كرة لها مركز ، يتم تعيينها بثلاثة إحداثيات). بشكل تقريبي ، يجب إيجاد حد أدنى لمثل هذه الوظيفة في ظل بعض الشروط الإضافية. من ناحية ، أصبحت المهمة نهائية ، ولكن من ناحية أخرى ، كانت ساحقة تمامًا من وجهة نظر حسابية للشخص. لكن Feyesh Toth لم يكن مستاءًا وقال إن أجهزة الكمبيوتر في القريب العاجل ستتمتع بقوة الحوسبة اللازمة. أنها ستساعد.

حظيت فرضية فيش تحوت بإعجاب كبير لدى علماء الرياضيات وبدأوا في العمل بنشاط في هذا الاتجاه. بحلول بداية التسعينيات ، كانت تقديرات كثافة التعبئة القصوى للكرات في الفضاء ثلاثي الأبعاد تتناقص تدريجياً. كانت الفكرة هي أنه في مرحلة ما سيكون التقدير مساويًا لكثافة التعبئة المكعبة المتمركزة على الوجه ، وبالتالي ، سيتم إثبات تخمين كبلر. خلال هذا الوقت ، نشر عالم الرياضيات توماس هالز أوراقه الأولى على العبوات. للعمل ، اختار شيئًا يسمى نجوم Delaunay (تكريما لعالم الرياضيات السوفيتي بوريس ديلوناي). كانت هذه خطوة جريئة - في ذلك الوقت كانت فعالية هذه الأشياء لدراسة مشكلة التغليف موضع شك.

بعد 8 سنوات فقط من العمل الشاق ، في عام 1998 ، أكمل هالس إثبات تخمين كيبلر. اختصر الدليل إلى تعداد اندماجي محدود للعديد من الهياكل من نوع Delaunay. لكل هيكل اندماجي من هذا القبيل ، كان من الضروري تعظيم الكثافة. نظرًا لأن الكمبيوتر يعمل جيدًا فقط مع الأعداد الصحيحة (ببساطة لأنه في الرياضيات ، غالبًا ما تكون الأرقام كسورًا لا نهائية) ، ثم لكل حالة قام Delaunay تلقائيًا ببناء تقريب من أعلى باستخدام حسابات منطقية رمزية (أرقام منطقية ، بعد كل شيء ، إذا لم تترجمها إلى كسور عشرية ، فقط بضعة أعداد صحيحة). بهذا التقريب ، حصل على تقدير أعلى للكثافة القصوى. نتيجة لذلك ، تبين أن جميع التقديرات أقل من تلك التي قدمتها التعبئة المكعبة المتمركزة على الوجه.

ومع ذلك ، كان العديد من علماء الرياضيات في حيرة من أمرهم بسبب الموقف الذي تم فيه بناء الكمبيوتر لإنشاء تقريب. لإثبات عدم وجود أخطاء في جزء الكمبيوتر من الإثبات ، تولى Hales إضفاء الطابع الرسمي والتحقق ، ولكن أيضًا بمساعدة الكمبيوتر. تم الانتهاء من هذا العمل ، الذي كان يعمل عليه فريق دولي كبير إلى حد ما ، في أغسطس 2014. لم يتم العثور على أخطاء في الإثبات.

9.

لا تتطلب البراهين للأبعاد 8 و 24 جهاز كمبيوتر وهي أبسط إلى حد ما. منذ بعض الوقت ، تم الحصول على تقديرات جيدة جدًا لتقدير كثافة التعبئة القصوى في هذه الأبعاد. تم القيام بذلك من قبل عالم الرياضيات كوهن وإلكيس في عام 2003. بالمناسبة ، تم العثور على هذا التقدير (يُطلق عليه أيضًا حدود Cohn-Elkies) من قبل عالم الرياضيات الروسي دميتري جورباتشوف من تولا قبل عامين من كوهن وإلكيس أنفسهم. ومع ذلك ، نشر هذا العمل باللغة الروسية وفي مجلة تولا. لم يعرف كون وإلكيس عن هذا العمل ، وعندما قيل لهم ، بالمناسبة ، أشاروا إليه.

"ظهرت حدود كوهن - إلكيس على أساس أعمال جان فريدريك ديلسارتي وعالمي الرياضيات الرائعين غريغوري كاباتيانسكي وفلاديمير ليفينشتاين. التقدير المقارب (في أبعاد الفضاء) لكثافة التعبئة للكرات في الفضاء ذي البعد n ، الذي حصل عليه كاباتيانسكي وليفينشتاين ، "محتجز" منذ عام 1978. بالمناسبة ، كان Levenshtein وقد حل الأمريكان Odlyzhko و Sloen بشكل مستقل مشكلة أرقام الاتصال في الأبعاد 8 و 24 في عام 1979. لقد استخدموا بشكل مباشر طريقة Delsarte - Kabatiansky - Levenshtein "، كما يقول أوليغ موسين.

يقولون إن جورباتشوف قد دفع إلى مثل هذا البيان الجريء من قبل عالم رياضيات آخر ، أندريه بوندارينكو ، في الواقع - معلم ، أحد القادة العلميين لمارينا فيازوفسكايا ، الذي حل مشكلة الفضاء ثلاثي الأبعاد (وشارك في تأليفه لـ مساحة 24 بعدًا). تشكر بوندارينكو في نهاية عملها الرائع. لذلك ، لم ينجح بوندارينكو وغورباتشوف ، لكن فيازوفسكايا نجح. لماذا هذا؟

مارينا فيازوفسكايا

جامعة همبولت في برلين

يربط تقدير Cohn - Elkies بين كثافة التعبئة وخاصية بعض الوظائف من مجموعة مناسبة. بشكل تقريبي ، يتم إنشاء تقدير لكل وظيفة من هذا القبيل. أي أن المهمة الرئيسية هي إيجاد وظيفة مناسبة بحيث يتبين أن التقدير الذي تم الحصول عليه هو ما نحتاجه. لذا ، فإن العنصر الرئيسي في بناء Vyazovskaya هو أشكال معيارية. لقد ذكرناها بالفعل فيما يتعلق بإثبات نظرية فيرما الأخيرة ، والتي من أجلها. هذا كائن متماثل إلى حد ما يظهر باستمرار في مختلف فروع الرياضيات. كانت مجموعة الأدوات هذه هي التي جعلت من الممكن العثور على الوظيفة المطلوبة.

في فضاء 24 بعدًا ، تم الحصول على التقدير بنفس الطريقة. يحتوي هذا العمل على عدد أكبر من المؤلفين ، لكنه يستند إلى نفس الإنجاز الذي حققه Vyazovskaya (وإن كان ، بالطبع ، مقتبسًا قليلاً). بالمناسبة ، تم إثبات حقيقة رائعة أخرى في العمل: شبكة Leech تدرك تعبئة دورية واحدة كثيفة. أي أن جميع العبوات الدورية الأخرى لها كثافة أقل من هذا. وفقًا لـ Oleg Musin ، يمكن أن تكون النتيجة المماثلة للعبوات الدورية صحيحة في البعدين 4 و 8.

10.

من وجهة نظر التطبيقات ، فإن مشكلة التعبئة الكثيفة في المساحات عالية الأبعاد هي ، أولاً وقبل كل شيء ، مشكلة الترميز الأمثل مع تصحيح الخطأ.

تخيل أن أليس وبوب يحاولان التواصل باستخدام إشارات الراديو. تقول أليس إنها سترسل إلى بوب إشارة تتكون من 24 ترددًا مختلفًا. سيقيس بوب سعة كل تردد. نتيجة لذلك ، سيحصل على مجموعة من 24 اتساعًا. لقد حددوا ، بالطبع ، نقطة في الفضاء ذي 24 بعدًا - هناك 24 منهم. يأخذ بوب وأليس ، على سبيل المثال ، قاموس Dahl ويخصصان لكل كلمة مجموعتها الخاصة من سعة 24. اتضح أننا قمنا بترميز كلمات من قاموس دال بنقاط ذات فضاء 24 بعدًا.

في عالم مثالي ، لا حاجة لأي شيء آخر. لكن قنوات نقل البيانات الحقيقية تضيف ضوضاء ، مما يعني أنه أثناء فك التشفير ، يمكن أن يحصل بوب على مجموعة من السعات التي لا تتوافق مع كلمة واحدة. ولكن بعد ذلك يمكنه إلقاء نظرة على الكلمة الأقرب إلى النسخة التي تم فك تشفيرها. إذا كان هناك شيء واحد من هذا القبيل ، فهذا يعني أنه على الأرجح هذا هو. لتكون قادرًا دائمًا على القيام بذلك ، من الضروري أن تكون النقاط الموجودة في الفضاء بعيدة عن بعضها البعض قدر الإمكان. أي ، على سبيل المثال ، إذا كان مستوى الضوضاء يتم تقديم التشويه الذي يغير النتيجة بواسطة متجه بطول واحد على الأكثر ، فيجب أن تكون نقطتان من الكود على مسافة اثنتين على الأقل. بعد ذلك ، حتى مع وجود تشوهات ، ستكون نتيجة بوب دائمًا قريبة من كلمة واحدة - الكلمة المطلوبة.

في الوقت نفسه ، لا أريد حقًا تضخيم الكثير من الكلمات - لدينا نطاق محدود إلى حد ما يمكننا من خلاله نقل المعلومات. على سبيل المثال ، سيكون الأمر غريبًا (وغير مؤثر جدًا) إذا بدأت أليس وبوب في الاتصال في نطاق الأشعة السينية. لذلك ، من الناحية المثالية ، يجب أن تكون المسافة بين كلمات الشفرة المتجاورة اثنين بالضبط. وهذا يعني أن الكلمات تقع عند رؤوس الكرات ، نصف قطرها 1 ، معبأة بكثافة في فضاء 24 بعدًا.

في عام 1904 ، اقترح هنري بوانكاريه أن أي جسم ثلاثي الأبعاد له خصائص معينة للكرة ثلاثية الأبعاد يمكن تحويله إلى كرة ثلاثية. لقد استغرق إثبات هذه الفرضية 99 عامًا. (انتبه! إن الكرة ثلاثية الأبعاد ليست كما كنت تعتقد). أثبت عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان فرضية بوانكاريه قبل مائة عام وأكمل إنشاء كتالوج لأشكال الفضاءات ثلاثية الأبعاد.

افترض بوانكاريه أن الكرة الثلاثية فريدة من نوعها ولا يوجد أي مشعب ثلاثي مضغوط آخر (المشعبات غير المدمجة لا حصر لها أو لها حدود. في ما يلي ، يتم اعتبار المشعبات المدمجة فقط) تمتلك الخصائص التي تجعلها بسيطة للغاية. تحتوي المشعبات الثلاثة الأكثر تعقيدًا على حدود تظهر مثل جدار من الطوب ، أو وصلات متعددة بين بعض المناطق ، مثل مسار الغابة الذي يتفرع ويتصل مرة أخرى. يمكن لأي جسم ثلاثي الأبعاد بخصائص كرة ثلاثية أن يتحول إلى نفسه ، لذلك يبدو أنه مجرد نسخة منه بالنسبة لعلماء الطبولوجيا. يسمح لنا دليل بيرلمان أيضًا بالإجابة على السؤال الثالث وتصنيف جميع المشعبات الثلاثة الموجودة.
يتطلب الأمر قدرًا لا بأس به من الخيال لتخيل كرة ثلاثية. لحسن الحظ ، هناك الكثير من القواسم المشتركة مع الكرة 2 ، ومثال نموذجي على ذلك هو مطاط البالون المستدير: إنه ثنائي الأبعاد ، حيث يتم تحديد أي نقطة فيه بإحداثيين فقط - خط العرض وخط الطول. إذا نظرت إلى قسم صغير بما فيه الكفاية تحت عدسة مكبرة قوية ، فستبدو كقطعة من ورقة مسطحة. بالنسبة للحشرة الصغيرة التي تزحف على بالون ، ستبدو وكأنها سطح مستوٍ. ولكن إذا تحرك booger في خط مستقيم لفترة كافية ، فسيعود في النهاية إلى نقطة البداية. وبنفس الطريقة ، فإننا ندرك أن مجالًا ثلاثي الأبعاد بحجم كوننا هو فضاء ثلاثي الأبعاد "عادي". بالطيران بعيدًا بما يكفي في أي اتجاه ، سنقوم في النهاية "برحلة حول العالم" على طوله وسنكون في نقطة البداية.
كما قد تكون خمنت ، يسمى n-sphere بـ n-sphere. على سبيل المثال ، الكرة 1 مألوفة للجميع: إنها مجرد دائرة.

لا يتعين على علماء الرياضيات الذين يثبتون نظريات حول المساحات متعددة الأبعاد تخيل موضوع الدراسة: فهم يتعاملون مع الخصائص المجردة ، مسترشدين بأفكار حدسية تستند إلى مقارنات ذات أبعاد أقل (يجب التعامل مع مثل هذه المقارنات بحذر وعدم أخذها حرفيًا). سننظر أيضًا في الكرة الثلاثية بناءً على خصائص الكائنات ذات الأبعاد الأقل.
1. لنبدأ بالنظر إلى الدائرة والدائرة المحيطة بها. بالنسبة لعلماء الرياضيات ، الدائرة عبارة عن كرة ثنائية الأبعاد والدائرة هي كرة ذات بعد واحد. علاوة على ذلك ، فإن الكرة من أي بُعد هي جسم ممتلئ يشبه البطيخ ، والكرة هي سطحها ، مثل البالون. الدائرة أحادية البعد ، لأنه يمكن تحديد موضع النقطة عليها برقم واحد.

2. من دائرتين ، يمكننا بناء كرة ثنائية الأبعاد ، وتحويل إحداهما إلى نصف الكرة الشمالي والأخرى إلى الجنوب. يبقى أن نلصقها معًا ، وتكون الكرة 2 جاهزة.

3. تخيل نملة تزحف من القطب الشمالي في دائرة كبيرة مكونة من خطي الطول صفر و 180 (على اليسار). إذا قمنا بتعيين مسارها إلى دائرتين أصليتين (على اليمين) ، فسنرى أن الحشرة تتحرك في خط مستقيم (1) إلى حافة الدائرة الشمالية (أ) ، ثم تعبر الحدود ، وتصل إلى النقطة المقابلة على الدائرة الجنوبية ويستمر في اتباع خط مستقيم (2 و 3). ثم تصل النملة مرة أخرى إلى الحافة (ب) ، وتقطعها وتجد نفسها مرة أخرى في الدائرة الشمالية ، مسرعة إلى نقطة البداية - القطب الشمالي (4). لاحظ أنه أثناء السفر حول العالم على كرة ثنائية ، ينعكس اتجاه السفر عند الانتقال من دائرة إلى أخرى.

4. الآن ضع في اعتبارك الكرة الثنائية والحجم الذي تحتوي عليه (كرة ثلاثية الأبعاد) وافعل الشيء نفسه معهم كما هو الحال مع دائرة ودائرة: خذ نسختين من الكرة وألصق حدودهما معًا. من المستحيل وغير الضروري إظهار كيفية تشويه الكرات بأربعة أبعاد وتحويلها إلى نظير لنصفي الكرة الأرضية. يكفي أن نعرف أن النقاط المقابلة لها على الأسطح ، أي 2-الكرات متصلة ببعضها البعض بنفس الطريقة كما في حالة الدوائر. نتيجة الانضمام إلى كرتين تكون كرة 3 - سطح كرة 4. (في أربعة أبعاد ، حيث يوجد كرة 3 و 4 كرات ، يكون سطح الجسم ثلاثي الأبعاد.) دعنا نسمي كرة نصف الكرة الشمالي والأخرى نصف الكرة الجنوبي. على غرار الدوائر ، أصبح القطبان الآن في مراكز الكرات.

5. تخيل أن الكرات المدروسة هي مساحات فارغة كبيرة. لنفترض أن رائد فضاء تم إرساله من القطب الشمالي على صاروخ. بمرور الوقت ، تصل إلى خط الاستواء (1) ، وهو الآن الكرة التي تحيط بالكرة الشمالية. عند عبوره ، يدخل الصاروخ نصف الكرة الجنوبي ويتحرك في خط مستقيم عبر مركزه - القطب الجنوبي - إلى الجانب الآخر من خط الاستواء (2 و 3). هناك ، يحدث الانتقال إلى نصف الكرة الشمالي مرة أخرى ، ويعود المسافر إلى القطب الشمالي ، أي إلى نقطة البداية (4). هذا هو السيناريو للسفر حول العالم على سطح كرة رباعية الأبعاد! المجال ثلاثي الأبعاد المدروس هو الفضاء المشار إليه في فرضية بوانكاريه. ربما يكون كوننا هو بالضبط الكرة الثلاثية.

يمكن أن يمتد المنطق إلى خمسة أبعاد وبناء كرة رباعية ، ولكن من الصعب للغاية تخيل ذلك. إذا قمت بلصق كرتين n على طول الكرات المحيطة (n-1) ، فستحصل على n-sphere الذي يحد الكرة (n + 1).

مضى نصف قرن قبل أن تبدأ قضية فرضية بوانكاريه. في الستينيات. القرن العشرين. أثبت علماء الرياضيات عبارات مماثلة لمجالات ذات خمسة أبعاد أو أكثر. في كل حالة ، فإن n-sphere هو في الواقع النوع الوحيد والأبسط من n. ومن الغريب أنه اتضح أنه من الأسهل الحصول على نتيجة لمجالات متعددة الأبعاد أكثر من الحصول على 3 و 4 كرات. ظهر الدليل على أربعة أبعاد في عام 1982. وفقط تخمين بوانكاريه الأصلي حول الكرة 3 بقي غير مؤكد.
تم اتخاذ الخطوة الحاسمة في نوفمبر 2002 ، عندما قام جريجوري بيرلمان ، عالم الرياضيات من St. Steklov ، أرسل المقال إلى موقع www.arxiv.org ، حيث يناقش علماء الفيزياء والرياضيات من جميع أنحاء العالم نتائج أنشطتهم العلمية. أدرك الطوبولوجيون على الفور العلاقة بين عمل العالم الروسي وفرضية بوانكاريه ، على الرغم من أن المؤلف لم يذكرها مباشرة.

في الواقع ، فإن إثبات بيرلمان ، الذي لم يشكك أحد في صحته بعد ، يحل نطاقًا أوسع بكثير من القضايا من تخمين بوانكاريه نفسه. يسمح إجراء الهندسة الهندسية الذي اقترحه William P. Thurston من جامعة كورنيل بتصنيف كامل من 3 متشعبات على أساس 3 كرات ، فريدة من نوعها في بساطتها الرائعة. إذا كانت فرضية بوانكاريه خاطئة ، أي إذا كان هناك العديد من المساحات البسيطة مثل الكرة ، فإن تصنيف المشعبات الثلاثة سيتحول إلى شيء أكثر تعقيدًا بلا حدود. بفضل Perelman و Thurston ، لدينا فهرس كامل لجميع أشكال الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تسمح بها الرياضيات التي يمكن لكوننا أن يأخذها (إذا نظرنا إلى الفضاء فقط بدون وقت).

للحصول على فهم أعمق لتخمين بوانكاريه وإثبات بيرلمان ، يجب على المرء التعرف على الطوبولوجيا. في هذا القسم من الرياضيات ، لا يهم شكل الجسم ، كما لو كان مصنوعًا من العجين ، والذي يمكن شده وعصره وثنيه حسب الرغبة. لماذا يجب أن نفكر في الأشياء أو المساحات من خلال اختبار وهمي؟ النقطة المهمة هي أن الشكل الدقيق للكائن - المسافة بين جميع نقاطه - يشير إلى مستوى هيكلي يسمى الهندسة. بالنظر إلى كائن من الاختبار ، يكشف الطوبولوجيون عن خصائصه الأساسية ، بغض النظر عن البنية الهندسية. تشبه دراسة الطوبولوجيا البحث عن السمات الأكثر شيوعًا الكامنة في الناس ، من خلال النظر إلى "شخص من البلاستيسين" يمكن تحويله إلى أي فرد معين.
في الأدب الشعبي ، غالبًا ما توجد عبارة مبتذلة مفادها أن الكوب ، من حيث الهيكل ، لا يختلف عن الكعك. الحقيقة هي أنه يمكن تحويل كوب من العجين إلى كعك بمجرد سحق المادة ، أي دون التسبب في العمى أو إحداث ثقوب. من ناحية أخرى ، لصنع كعكة دونات من كرة ، يجب أن تصنع ثقبًا فيها أو تدحرجها في اسطوانة وتعمى الأطراف ، لذا فإن الكرة ليست كعكة دائرية على الإطلاق.
يهتم الطوبولوجيون أكثر بأسطح الكرة والدونات. لذلك ، بدلاً من الأجسام الصلبة ، ينبغي للمرء أن يتخيل البالونات. لا تزال طوبولوجيتها مختلفة ، حيث لا يمكن تحويل البالون الكروي إلى بالون حلقي ، وهو ما يسمى الطارة. في البداية ، قرر العلماء معرفة عدد الكائنات ذات الهياكل المختلفة الموجودة بشكل عام وكيف يمكن تمييزها. بالنسبة إلى المشعبتين ، التي اعتدنا أن نسميها الأسطح ، فإن الإجابة أنيقة وبسيطة: كل شيء يتم تحديده من خلال عدد "الثقوب" أو ، على نحو مكافئ ، بعدد المقابض. بحلول نهاية القرن التاسع عشر. اكتشف علماء الرياضيات كيفية تصنيف الأسطح ووجدوا أن أبسطها كان كرة. بطبيعة الحال ، بدأ الطوبولوجيون بالتفكير في المشعبات ثلاثية الأبعاد: هل الكرة ثلاثية الأبعاد فريدة من نوعها في بساطتها؟ إن التاريخ القديم للبحث عن إجابة مليء بالخطوات الخاطئة والأدلة المعيبة.
بدأ هنري بوانكاريه في التعامل مع هذه القضية. كان أحد أقوى علماء الرياضيات في أوائل القرن العشرين. (الآخر كان ديفيد هيلبرت). تم تسميته آخر اختصاصي اختصاصي - لقد عمل بنجاح في جميع مجالات الرياضيات البحتة والتطبيقية. بالإضافة إلى ذلك ، قدم بوانكاريه مساهمة كبيرة في تطوير الميكانيكا السماوية ، ونظرية الكهرومغناطيسية ، وكذلك في فلسفة العلوم ، والتي كتب عنها العديد من الكتب الشعبية.
أصبح بوانكاريه مؤسس الطوبولوجيا الجبرية ، وباستخدام أساليبها ، صاغ في عام 1900 خاصية طوبولوجية لكائن يسمى homotopy. لتحديد التماثل المتشعب ، تحتاج إلى الانغماس عقليًا في حلقة مغلقة فيه. ثم يجب عليك معرفة ما إذا كان يمكنك دائمًا سحب الحلقة إلى نقطة ما عن طريق تحريكها داخل المشعب. بالنسبة للحلقة ، ستكون الإجابة سالبة: إذا وضعت الحلقة حول محيط الطارة ، فلن تكون قادرًا على سحبها لأسفل إلى نقطة معينة ، لأنك سوف تتداخل "فتحة" الدونات. Homotopy هو عدد المسارات المختلفة التي يمكن أن تمنع الحلقة من الانكماش.

على الكرة n ، يمكن دائمًا فك أي حلقة ، حتى الملتوية بشكل معقد ، وسحبها إلى نقطة معينة. (يُسمح للحلقة بالمرور من خلال نفسها.) افترض بوانكاريه أن الكرة الثلاثية هي المشعب الوحيد الذي يمكن من خلاله سحب أي حلقة معًا إلى نقطة ما. لسوء الحظ ، لم يكن قادرًا على إثبات فرضيته ، والتي عُرفت فيما بعد باسم حدسية بوانكاريه.

يرتبط تحليل Perelman لـ 3-manifolds ارتباطًا وثيقًا بإجراء الهندسة. تتعامل الهندسة مع الشكل الفعلي للأشياء والمشعبات ، التي لم تعد مصنوعة من العجين ، بل من السيراميك. على سبيل المثال ، الكوب والدونات مختلفان هندسيًا لأن سطحهما منحني بشكل مختلف. يُقال أن الكوب والدونات مثالان على طارة طوبولوجية تم إعطاؤها أشكالًا هندسية مختلفة.
لفهم سبب استخدام Perelman للهندسة ، ضع في اعتبارك تصنيف 2-manifolds. يتم تخصيص هندسة فريدة لكل سطح طوبولوجي ، يتم توزيع الانحناء بشكل موحد على المشعب. على سبيل المثال ، بالنسبة للكرة ، هذا سطح كروي تمامًا. هناك هندسة أخرى محتملة للكرة الطوبولوجية وهي البيضة ، لكن انحناءها غير موزع بشكل موحد في كل مكان: الطرف الحاد منحني أكثر من الطرف غير الحاد.
تشكل المشعبتان ثلاثة أنواع هندسية. تتميز الكرة بانحناء إيجابي. الطارة الهندسية مسطحة وليس لها أي انحناء. جميع المشعبات الأخرى ذات الفتحتين أو أكثر لها انحناء سلبي. إنها تتوافق مع سطح مشابه للسرج ، والذي ينحني للأعلى للأمام وللخلف وللأسفل على اليسار واليمين. طور بوانكاريه مثل هذا التصنيف الهندسي (الهندسة) لمشعبين مع بول كويبي وفيليكس كلاين ، وبعد ذلك تم تسمية زجاجة كلاين.

هناك رغبة طبيعية في تطبيق طريقة مماثلة على المشعبات الثلاثة. هل من الممكن إيجاد مثل هذا التكوين الفريد لكل منهم ، حيث يتم توزيع الانحناء بشكل موحد على المشعب بأكمله؟
اتضح أن المشعبات الثلاثية أكثر تعقيدًا بكثير من نظيراتها ثنائية الأبعاد ولا يمكن ربط معظمها بالهندسة المتجانسة. يجب تقسيمها إلى أجزاء تتوافق مع أحد الأشكال الهندسية الثمانية المتعارف عليها. يشبه هذا الإجراء تحليل الرقم إلى عوامل أولية.

كيف ، إذن ، يمكن تشكيلها هندسيًا وإعطاء انحناء موحد في كل مكان؟ عليك أن تأخذ بعض الأشكال الهندسية التعسفية مع نتوءات وانخفاضات مختلفة ، ثم تهدئة جميع المخالفات. في أوائل التسعينيات. القرن العشرين. بدأ هاملتون تحليل 3 متشعبات باستخدام معادلة تدفق ريتشي ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات جريجوريو ريتشي كورباسترو. إنها تشبه إلى حد ما معادلة التوصيل الحراري ، التي تصف تدفقات الحرارة المتدفقة في جسم ساخن بشكل غير متساوٍ حتى تصبح درجة حرارته كما هي في كل مكان. وبالمثل ، فإن معادلة تدفق ريتشي تؤدي إلى مثل هذا التغيير في انحناء المشعب ، مما يؤدي إلى محاذاة جميع النتوءات والانخفاضات. على سبيل المثال ، إذا بدأت ببيضة ، فسوف تصبح كروية بشكل تدريجي.

أضاف بيرلمان مصطلحًا جديدًا إلى معادلة تدفق ريتشي. لم يعالج هذا التغيير مشكلة الميزة ، لكنه سمح بتحليل أعمق بكثير. أظهر العالم الروسي أنه يمكن إجراء عملية "جراحية" فوق مشعب على شكل دمبل: قطع أنبوب رفيع على جانبي القرص الناشئ وإغلاق الأنابيب المفتوحة البارزة من الكرات بأغطية كروية. ثم يجب على المرء أن يستمر في تغيير المشعب "المشغل" وفقًا لمعادلة تدفق ريتشي ، وتطبيق الإجراء أعلاه على جميع القيود الناشئة. أظهر بيرلمان أيضًا أن الميزات الشبيهة بالسيجار لا يمكن أن تظهر. وبالتالي ، يمكن اختزال أي 3 متشعب إلى مجموعة من الأجزاء ذات الهندسة المتجانسة.
عندما يتم تطبيق تدفق ريتشي و "الجراحة" على جميع المشعبات الثلاثة الممكنة ، فإن أيًا منها ، إذا كان بسيطًا مثل كرة ثلاثية (بمعنى آخر ، يتميز بنفس الشكل المتجانس) ، يقلل بالضرورة إلى نفس الهندسة المتجانسة مثل و 3 المجال. ومن ثم ، من وجهة النظر الطوبولوجية ، فإن المشعب قيد النظر هو 3-sphere. وبالتالي ، فإن الكرة 3 فريدة من نوعها.

لا تكمن قيمة مقالات بيرلمان في إثبات تخمين بوانكاريه فحسب ، بل تكمن أيضًا في طرق التحليل الجديدة. يستخدم العلماء في جميع أنحاء العالم بالفعل النتائج التي حصل عليها عالم الرياضيات الروسي في عملهم ، ويطبقون الأساليب التي طورها في مجالات أخرى. اتضح أن تدفق ريتشي مرتبط بما يسمى مجموعة إعادة التطبيع ، والتي تحدد كيفية تغير قوة التفاعلات اعتمادًا على طاقة تصادم الجسيمات. على سبيل المثال ، عند الطاقات المنخفضة ، تكون القوة الكهرومغناطيسية 0.0073 (حوالي 1/137). ومع ذلك ، عندما يصطدم إلكترونان وجهاً لوجه بسرعة تساوي تقريبًا سرعة الضوء ، فإن قيمة هذه القوة تقترب من 0.0078. إن الرياضيات التي تصف التغيير في القوى الفيزيائية تشبه إلى حد بعيد الرياضيات التي تصف هندسة المشعبات.
زيادة طاقة الاصطدام تعادل دراسة القوة على مسافات أقصر. لذلك ، فإن مجموعة إعادة التطبيع تشبه المجهر بعامل تكبير متغير ، مما يسمح لك بدراسة العملية على مستويات مختلفة من التفاصيل. وبالمثل ، فإن تدفق ريتشي هو مجهر لعرض الفتحات. تختفي النتوءات والانخفاضات المرئية عند تكبير أحدهما من الآخر. من المحتمل أنه على مقياس طول بلانك (حوالي 10 -35 مترًا) ، تبدو المساحة التي نعيش فيها مثل الرغوة ذات البنية الطوبولوجية المعقدة. بالإضافة إلى ذلك ، ترتبط معادلات النسبية العامة ، التي تصف خصائص الجاذبية والبنية واسعة النطاق للكون ، ارتباطًا وثيقًا بمعادلة تدفق ريتشي. ومن المفارقات أن المصطلح الذي أضافه بيرلمان إلى تعبير هاملتون ينشأ في نظرية الأوتار ، التي تدعي أنها نظرية الكم للجاذبية. من الممكن أن يجد العلماء في مقالات عالم الرياضيات الروسي الكثير من المعلومات المفيدة ليس فقط عن المشعبات الثلاثية المجردة ، ولكن أيضًا عن المساحة التي نعيش فيها.

دوران الكون رباعي الأبعاد.

لا يمكنك تدوير كرة عادية من هذا القبيل. تتحرك نقاط الكرة بالقرب من محور الدوران بسرعة خطية أقل من النقاط الاستوائية.

لكن تبين أن الكون المغلق مثالي من حيث الدوران. اتضح أنها متجانسة مكانيًا وخواص. كيف يمكن أن يكون هذا؟ في الواقع ، في الشكل الموجود على اليسار يمكنك رؤية تباين واضح - نرى محورين للدوران.

يساعدنا هذا الشكل حقًا في فهم الدوران رباعي الأبعاد للغلاف الفائق ثلاثي الأبعاد غير الإقليدي. س 2 + ص 2 + ع 2 + س 2 = ص 2مغمورة في الفضاء الإقليدي الرباعي. لكن هذه المعادلة تتضمن الإحداثي المكاني ف، والتي حددناها باللون في الشكل.

دعنا نستبدلها بإحداثيات الوقت t ، مضروبة في سرعة الضوء للحصول على أمتار ، وبوحدة تخيلية i ، لأن الزمكان هو إقليدي زائف. أي نحصل على المعادلة: س 2 + ص 2 + ع 2 + (ict) 2 = ص 2، الزائفة الإقليدية الزائفة.

يمكنك إلقاء نظرة على هذا التناوب في المستوى (x ، ict) من خلال فتح برنامجي ، ولكن الآن لا يتم تحميل ملفات exe إلى الموقع. سأحاول في المستقبل القريب عمل رسم متحرك بصيغة gif.

لاحظ أن الإلكترون يدور هناك ، ويمر عبر القطع الزائد الأيمن والأيسر في وقته الكلاسيكي. في نفس المكان يمكنك أن ترى كيف يرسم "ظل" الإلكترون دائرة. نحصل على هذه الدائرة إذا قسمنا كل عنصر من عناصر القطع الزائد على العامل النسبي المقابل وقمنا بتجميعها. نتيجة لذلك ، نحصل على 2p ri. يشير هذا إلى أن الدائرة الزائفة في الكون المغلق تتحول إلى دائرة شبه مغلقة ليس فقط للإلكترون ، ولكن أيضًا لجميع الجسيمات في الكون ، بما في ذلك المجرات.

إذن أين يذهب عدم التماثل؟ للقيام بذلك ، تذكر أن مربع 4 سرعات (الخامسز ، icg)في النظرية الخاصة للنسبية هو ثابت وهو يساوي - ج 2... لأي شخص! الجزء المكاني من السرعات الأربع لجسم في حالة السكون هو صفر ، والجزء الزمني يعطينا سرعة الضوء.

نحن نأخذ أي نقطة من الكون الدوار المغلق. أي نقطة لها محورين مستويين. تقع على محور واحد ، والمحور الآخر عمودي. كلاهما دوائر. يحتوي المحور الذي يقع عليه الجسيم المدروس على إحداثيات الوقت وأي واحد مكاني آخر. فليكن (z ، ict). يتحرك هذا المحور بسرعة ج. بالنسبة للجسيم الذي تم فحصه ، ستكون هذه السرعة مؤقتة تمامًا ، لأنها تتحرك مع هذا المحور ، وبالتالي فهي في حالة سكون بالنسبة إلى هذا المحور. ستحصل النقاط الأخرى على المحور على الجزء المكاني الأكبر ، وكلما كانت أبعد من نقطة الاهتمام. ووفقًا لعنصر الوقت في السرعات الأربع ، فإن إيقاع الوقت ينخفض ​​، وكلما زاد ، كلما ابتعد عن النقطة قيد الدراسة. لذلك ، نستنتج: المجرات في اتجاهين متعاكسين ، حيث يقع مستوى المحور هذا ، سيكون لها انزياح أحمر عرضي بسبب دوران الزمكان على طول الإحداثي z.

نظرًا لأن مستوى المحور الآخر يدور في الاتجاه العمودي ، فسيكون هناك أيضًا انزياح أحمر عرضي ، ولكن هناك بسبب الحركة العرضية في المستوى (س ، ص).

يشرح هذا الدوران الكثير من الأشياء:
وجود دوران لكل جسيم ؛
وجود دالة ψ كمومية ؛
عدم التناسق بين اليمين واليسار في طائرات المجرات ؛
لماذا العمر التقليدي للكون هو 13.34 مليار سنة دائمًا!
دوران سريع بشكل غير طبيعي للأجزاء الطرفية من المجرات ؛
قد تكون الكثافة الحرجة للكون أقل ...

إذا كانت سرعات الدوران على طول المحاور مختلفة قليلاً ، فيمكننا رؤية بنية متعددة الأقطاب في الخلفية المرسومة ، وتباين طفيف في الانزياح الأحمر للمجرات.

خطوط العالم.

في الصورة المتحركة gif ، نرى حركة الكرات. في الواقع ، يجب أن تكون الصورة التخيلية معقدة إلى حد ما من خلال تخيل خطوط المجرات العالمية. بالنسبة للمجرات التي تدور في المستوى (z ، ict) ، نحدد الوقت باللون. إذا تحرك الوقت في هذا الجانب من الصورة في اتجاه واحد ، فعندئذٍ في الجانب الآخر من الصورة يعود الوقت للخلف. لا ينبغي أن يكون هذا مفاجأة. كما تعلم ، فقد تمت مصادفة هذا بالفعل في الفيزياء - البوزيترون هو إلكترون يعيش في الوراء في الزمن. وعلى الصفحات المتعلقة بالسرعة الكمية ، طورنا هذه الفكرة ورأينا أن كل جسيم أساسي يعيش في الوقت المناسب "ذهابًا وإيابًا". الجسيم المركب "يومض" في لحظات الانضمام إلى دوائر شبه مغلقة. وإذا كان أحد الجسيمات الأولية متأخرًا أو متقدمًا على الجسيمات الأخرى في نهاية الجولة ، فإنه في لحظة تزامن الزمكان يتلقى تغيرًا أوليًا في السرعة ، أو بعبارة أخرى ، يحدث تحولًا أوليًا في وقت فراغ.

سنرى نفس المنعطفات الأولية في الزمكان إذا تابعنا حركة الكرات في الشكل الدوار الخاص بنا ، مكملًا برقم آخر.

لنقم بانتقال أولي من مركز هذا الرسم إلى أي جانب. في هذه الحالة ، سيكون أقرب إلى بعض الحدود الشرطية. ولكن نظرًا لأن الكون متناح ومتجانس ، يجب علينا إجراء تحويلات مع مجرات أخرى - نقلها بحيث يكون الجسيم قيد البحث في المركز مرة أخرى.

عند تنفيذ هذا الإجراء عقليًا ، نلاحظ أن المجرات التي كانت في الخلف عند الحدود البعيدة ، بعد التحول ، ستكون في الحد الأمامي.

إذا حدثت الحركة على طول عنصر الوقت ، فإن المجرات التي كانت في أفق الحدث في الماضي تختفي وتظهر في المستقبل البعيد "فوق مخروط الضوء".

تتلقى المجرات الموجودة داخل المخروط الضوئي في موقع وسيط بين المجرة المتحركة التي تم فحصها وأفق الحدث ، نتيجة لسلسلة من التحولات المتتالية ، معدل إزالة مماثل لما "يُلاحظ" في نموذج الكون المتوسع.

بالإضافة إلى هروب المادة إلى ما بعد أفق الحدث في الماضي البعيد ، وبالتالي عملية تقليل تركيز الجسيمات فيما يتعلق بتسريع إزالة المجرات ، هناك عملية تعوض عن عدد المجرات داخل مخروط الضوء.

عدد المجرات مفهوم نسبي. هناك أقمار صناعية ، و LMCs و MMO بالقرب من مجرتنا. من الممكن تمامًا أن تكون قد ولدت الآن أقمار صناعية أخرى - انفصلت بعض مجموعات النجوم عن المجرة. بمرور الوقت ، ستكون هذه مجرات مستقلة ذات عدد كبير من النجوم. السؤال هو من أين تأتي المادة.

أولاً ، دخول المادة إلى مخروط الضوء من الأعلى. ثانياً ، هناك انفجارات أشعة جاما. تم تحديد هذه العملية في نموذج Hoyle وصفحة 4d التناوب. اتضح أن الدوران الرباعي الأبعاد للكون في مستويين متعامدين بشكل متبادل لا يتوافق فقط مع الملاحظات ، ولكن أيضًا يعيد إحياء النموذج الثابت للكون ، الذي أنشأه فريد هويل وهيرمان بوندي وتوماس جولد.

بعض التطبيقات المفيدة من مصادر أخرى.

رقم التقبيل

تظهر مشاكل ترتيب الكرات بكثافة في العديد من المواقف ، لا سيما في نظرية الترميز (تتكون الكرات من مجموعات المدخلات التي يمكن أن يرسمها تصحيح الخطأ في كلمة مشفرة واحدة).
السؤال الأكثر أهمية في هذا المجال هو مشكلة كيبلر: ما هو أكثر حزم كراتين كثيفة في الفضاء؟ الإجابة واضحة لأي شخص رأى الجريب فروت مكدسًا في محل بقالة ، لكن الإثبات لا يزال بعيد المنال. (من المعروف ، ومع ذلك ، فإن تعبئة الجريب فروت المعتادة هي التعبئة الأكثر كثافة حيث تشكل مراكز الكرة شبكة شعرية.)

تشير "مشكلة رقم التقبيل" المسماة بالألوان إلى الكثافة المحلية للعبوات: كم عدد الكرات التي يمكن أن تلمس كرة أخرى؟ يمكن اعتبار هذا في حد ذاته نسخة من مشكلة كبلر للهندسة الكروية بدلاً من الهندسة الإقليدية.

في الرياضيات ، تتعلق مشاكل تعبئة المجال بترتيبات المجالات المتطابقة غير المتداخلة التي تملأ الفراغ. عادة ما يكون الفضاء المعني هو الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك ، يمكن تعميم مشاكل تعبئة المجال على الفضاء ثنائي الأبعاد (حيث تكون "الكرات" دوائر) ، إلى الفضاء ذي البعد n (حيث تكون "الكرات" كروية زائدة) وإلى المساحات غير الإقليدية مثل الفضاء الزائدي.
الترتيب المنتظم (يُطلق عليه أيضًا الترتيب الدوري أو الترتيب الشبكي) هو الترتيب الذي تشكل فيه مراكز الكرات نمطًا متماثلًا للغاية يسمى الشبكة. الترتيبات التي لا يتم فيها ترتيب المجالات في شبكة تسمى الترتيبات غير المنتظمة أو غير الدورية. الترتيبات المنتظمة أسهل في التعامل معها من الترتيبات غير المنتظمة - درجة تناسقها العالية تجعل من السهل تصنيفها وقياس كثافتها.

عدد الكرات الزائدة المكافئة في الأبعاد نوالتي يمكن أن تلمس كرة زائدة مكافئة بدون أي تقاطعات ، وتسمى أيضًا أحيانًا رقم نيوتن أو رقم الاتصال أو رقم التنسيق أو الارتباط.

تُعرف القيم الدقيقة للعبوات الشبكية بـ n = 1 إلى 9 و n = 24 (Conway and Sloane 1993 ، Sloane and Nebe). وجد Odlyzko و Sloane (1979) القيمة الدقيقة لـ 24-D.

تُعرف القيم الدقيقة للعبوات العامة بـ n = 1 و 2 و 3 و 4 و 8 و 24. طور موسين طريقة إحاطة في عام 2003 لإثبات الحالة ذات 24 بعدًا ، كما توفر طريقته أيضًا أدلة على ثلاثة وأربعة الأبعاد (Pfender and Ziegler 2004).

سو (4)

في الرياضيات ، SO (4) هي مجموعة الدوران رباعية الأبعاد ؛ أي مجموعة الدورات حول نقطة ثابتة في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد. يأتي الاسم من حقيقة أنه (متشابه إلى) المجموعة المتعامدة الخاصة من النظام 4.

دورات بسيطة
دوران بسيط R حول مركز دوران O يترك مستوى كامل من A إلى O (مستوى محور) ثابتًا في اتجاهه ...

لا يتم إزاحة الخطوط النصفية من O في مستوى المحور A ؛ يتم إزاحة نصف الخطوط من O المتعامد إلى A من خلال α ؛ يتم إزاحة جميع الخطوط النصفية الأخرى بزاوية< α.

دورات مزدوجة
دوران مزدوج R حول مركز دوران O يترك فقط O ثابتًا. يحتوي أي دوران مزدوج على زوج واحد على الأقل من المستويات المتعامدة تمامًا من A و B إلى O والتي تكون ثابتة ككل ، أي استدار في حد ذاتها. بشكل عام ، تختلف زوايا الدوران α في المستوى A و في المستوى B. في هذه الحالة A و B هما الزوجان الوحيدان من الطائرات الثابتة ، ويتم إزاحة نصف الخطوط من O في A ، B عبر α ، ، ويتم إزاحة نصف الخطوط من O غير الموجودة في A أو B عبر الزوايا بدقة بين α و β.

التناوب Isoclinic
إذا كانت زوايا الدوران لدوران مزدوج متساوية ، فهناك عدد لا نهائي من المستويات الثابتة بدلاً من اثنين فقط ، ويتم إزاحة جميع الخطوط النصفية من O بنفس الزاوية. تسمى مثل هذه الدورات بالدوران متساوي الزوايا أو متساوي الزوايا ، أو إزاحة كليفورد. احذر: ليست كل الطائرات التي تمر عبر O ثابتة في ظل التدوير الإيزوكلينيكي ؛ فقط الطائرات التي يمتد بنصف خط ونصف الخط المزاح المقابل هي ثابتة.